a est racine double
Nous supposerons yo(^) = {t — a)^ go(t),fi(a) ^ o.
Lorsque t tend vers «, une seule détermination de x tend vers zéro ; par suite, cette détermination est réelle. Il en résulte que la courbe a des points réels infiniment voisins de l'origine. On peut mettre l'équation (2) sous la forme
Il en résulte que, si x tend vers zéro, il doit avoir le signe de — go{a)fi(a) ; donc il n'y a de branche réelle que d'un côté de l'axe des y, du côté des X positifs si g(,{a)fi(a) < o; du côté opposé, si gç){ci) f\,{a) > o. Comme à chaque valeur de t suffisamment voisine de a il ne correspond qu'une valeur
Fig. i3.
de X voisine de zéro, on aura l'une ou l'autre de ces deux dispositions {fig. 12 et i3).
Les deux branches tangentes à la droite A'A étant de part et d'autre de cette droite, on dit que la courbe présente un rebrousse ment de première espèce.
29. Plus généralement, supposons que a soit racine d'un ordre quelconque [X de multiplicité; mais soit encore yi( a) ^ o. Une seule racine de l'équation (2) en a? tend vers zéro quand t tend vers «; nous sommes donc encore assuré que la courbe a une branche réelle passant par 0 et correspondant à la racine a.
En mettant l'équation (2) sous la forme
a et p étant infiniment petits, nous voyons, comme plus haut, que l'on a xi^t — a)!^> o, si l'on suppose gQ{a)fi{a) < o.
Si [Ji= 2[jl', X devra être positif, et par suite la courbe présentera encore un rebroussement de première espèce du côté des x positifs; si g(i{a) fx{a) est positif, même conclusion, mais du côté des x négatifs.
Si [ji = 2 (x' -+- 1 , alors x{t — a), c'est-à-dire jk — «a?, aura un signe déterminé, qui est celui de — go(a)/i(a); par suite, on trouvera un arc tournant sa concavité d'un côté déterminé.
30. Supposons : a racine double, fi(a) = o et fo(a) ^ o. Quand x tend vers zéro, deux déterminations de t tendent vers a, et quand t tend vers a, deux déterminations de x tendent vers zéro; nous ne savons donc plus, a priori, si ces déterminations sont réelles. Pour nous en assurer, posons
< = a -f- Xa-,
X étant une nouvelle variable. L'équation (3) devient, par cette substitution,
l^x^ go{a-h'kx) -+- xfi(a -{-Ix) -{- x^fi(a'i- Ix) -h. . .= o.
En tenant compte de l'hypothèse /i(«) = o, on voit que x^ est en facteur; après la suppression de ce facteur, on obtient l'équation
<7) l^go(a)-hlf'i(a)-h/i(a)^Px = o,
P désignant un polynôme entier en x et X.
Désignons par X' et X" les racines de l'équation
X2 S'o{a)-\- X/; (a) ^fiia) = o
et supposons d'abord ces racines distinctes.
Premier cas : X' et X" sont imaginaires conjuguées. — Quand x tend vers
ÉTUDE d'une courbe ALGÉBRIQUE, ETC. 27
zéro par valeurs réelles, une détermination de X tend vers X'; cette détermination est nécessairement imaginaire quand x est suffisamment voisin de zéro. La valeur correspondante de t est donc imaginaire et, par suite, comme il en est de même pour X", le point O est un point isolé.
Deuxième cas : X' et X" sont réelles et distinctes. — Quand x tend vers zéro par valeurs réelles, une seule détermination de X, que nous nommerons Xi, tend vers X'; elle est donc réelle et l'on peut poser Xi= X'-t-a, a étant un infiniment petit réel.
On voit de la même façon qu'il y a une seconde détermination de X que l'on peut définir ainsi : Xj = X"-i- p, ^ étant un infiniment petit réel. Nous trouvons ainsi deux branches réelles dont les ordonnées ^1 et j'j sont définies par les équations
yy — ax ^Çh! -^ ol)x'^, y%— ax -\- Çk" -\-^)x'^.
Quand x tend vers zéro, le signe de y y — ax finit par être celui de X', et celui de JK2 — clx le même que celui de X". La courbe proposée possède donc deux branches tangentes à une même droite et présentant, dans le voisinage du point O, respectivement les mêmes dispositions que les arcs correspondants des deux courbes définies par les équations
y^^^ax^X'x-^ y^=. ax -^ En supposant, pour fixer les idées,
on obtient les dispositions suivantes, GiBi correspondant kyx et C2B2 À y^ : i°(/^. i4);2'>(7?^. i5);3<'(/^.i6).
Fig. 16.
Troisième cas : X'= X". — L'équation (7) a la forme
(8) (À— X')Vo(«)-+-^ <l^l(X) 4-372 ^,(X) -+-... = 0.
Si nous supposons 4'i(X') 7^ o, nous pourrons encore résoudre le problème. En effet, quand X tend vers X', une seule valeur de x tendant vers zéro , cette détermination est réelle. Or l'équation (8) peut se mettre sous la forme
a étant infiniment petit en même temps que x. Supposons d'abord
l'équation (9) montre que l'on doit supposer a? > o quand il tend vers zéro. Nous changerons encore de variable en posant
ce qui permet de mettre l'équation (g) sous la forme
après avoir supprimé le facteur commun x. Si x tend vers zéro, il en est de même de a, et deux des racines de l'équation en G tendent vers les racines de l'équation
qui, en vertu de l'hypothèse faite plus haut, a deux racines réelles et inégales 6', — 6'.
On peut donc poser
P et Y étant deux infiniment petits réels, et, par suite, il y a deux déterminations réelles de X,
auxquelles correspondent ,
. ti = a + Vx -h((i'-\- ^)x \/x , t2= a -hl'x — {(i'-h ^)x \/x
et, par suite, deux déterminations réelles infiniment petites de^,
yi= ax H- X' 372-4- (6'-t- J3)a72 y/a?, y.i= ax -h "k'x^ — (6'-t- Y)iF2 ^x .
Supposons X'> o et construisons la parabole représentée par
y — ax -+- "k'x^ ;
la courbe proposée possède deux arcs OBi, OBj partant de l'origine, se dirigeant du côté des x positifs, tangents à la droite y — ax = o d'un même côté et de part et d'autre de la courbe auxiliaire OC, tant que x est suffisamment voisin de zéro (7^^. 17).
ÉTUDE d'une courbe ALGÉBRIQUE, ETC.
Supposons, en second lieu, g'Q{a)<\>i{'X')^ o, on devra supposer a? < o, et l'on posera, dans ce cas,
X — X'=ev/^^;
on obtiendra alors deux déterminations réelles dey, savoir
y.2 = ax + V x'^ — (6'-i- Y)a;2 / — x ^
de sorte que si l'on suppose, par exemple, X'<o,
on aura une disposition analogue à la précédente, mais du côté des x négatifs (/^. 18).
Donc, dans le cas considéré, on obtient un rebroussement de seconde espèce.
Tels sont les cas les plus simples que nous pouvons traiter par cette méthode élémentaire.
Fig. 18.
