ELLIPSE CONSIDERKE COMME TRANSFORMEE DU CERCLE

167. Nous avons vu que l'équation d'une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués égaux a la même forme que l'équation d'un cercle; mais les axes sont obliques. Cette remarque permet de construire par points une ellipse; car, si l'on considère un cercle rapporté à deux diamètres rectangulaires {Jiff- 129), à tout point M de ce cercle correspond un point M' obtenu en faisant tourner l'ordonnée PM autour de P d'un angle constant, de façon que PM' devienne parallèle à OY, l'angle a:OY étant égal à un angle

donné 9; si l'on nomme X, Y les coordonnées de M', x, y celles de M, on a X = .r, Y=j^; donc le lieu de M' a pour équation par rapport aux axes Ox, OY

a' étant le rayon du cercle donné. On déduirait très aisément de ce mode de transformation la détermination des points communs à une droite et à une ellipse, des tangentes, l'aire de l'ellipse.

168. Il existe un second mode de transformation beaucoup plus important dont nous allons nous occuper.

Les équations d'une ellipse rapportée à ses axes de symétrie et du cercle décrit sur le grand axe de cette ellipse comme diamètre étant

respectivement

y;1 yl

On voit qu'à chaque point M, {^fig. i3o) du cercle, ayant pour coordonnées X, Y, on peut faire correspondre un point M de l'ellipse dont les coordonnées x^ y sont liées à celles du premier point par les formules de transformation

SI l'on a tracé les cercles concentriques à l'ellipse et dont les rayons sont égaux à a et è, il suffira^ pour avoir le point M de l'ellipse qui correspond au point M, du cercle de diamètre 2 a, de joindre OM, et de mener par le point de rencontre N de la demidroite OM, avec le cercle de rayon è, une parallèle au grand axe qui rencontre en M l'ordonnée M, P. On a ainsi une méthode simple pour construire autant de points qu'on voudra d'une ellipse.

On peut aussi faire correspondre l'ellipse, point par point, au cercle décrit sur le petit axe comme diamètre, car ce cercle ayant pour équation