X-i t-Y2 = 62, il suffît de poser

Le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre se nomme le cercle principal. La transformation qui pprmet de passer d'un point du cercle principal à un point de l'ellipse, cas particulier d'une transformation plus générale que l'on nomme transformation ho mo graphique , est susceptible d'une définition géométrique importante. Imaginons, en effet, qu'on fasse tourner le plan du cercle principal autour du grand axe de l'ellipse, d'un angle 9 tel que

cosQ = -; chaque point Mi du cercle prendra une position M2 telle

que la projection orthogonale de M2 sur le plan de l'ellipse coïncide précisément avec M, d'où résulte immédiatement cette proposition :

La projection orthogonale d^un cercle sur un plan quelconque est une ellipse dont le grand axe est la projection du diamètre du cercle qui est parallèle au plan de projection, le petit axe étant la projection du diamètre perpendiculaire au premier.

169. Nous pouvons donc considérer à volonté l'ellipse donnée comme transformée du cercle principal ou comme projection d'un cercle égal au cercle principal et tracé dans un plan passant par le grand axe et faisant avec le plan de l'ellipse l'angle 0 défini plus haut.

Cela étant, à toute droite considérée comme liée au cercle principal correspondra une droite; l'équation de la droite donnée étant

sa transformée aura pour équation

- ^ = mx ^ h

ou

bm

hh

Fig. i3i.

on remarque que le coefficient angulaire de la transformée est égal à

celui de la première droite multiplié par — •

Pour construire la transformée d'une droite, il suffira de transformer deux points de cette droite; si elle rencontre le grand axe en un point situé dans les limites du dessin, ce point ne changeant pas, il suffira de transformer un second point. Soit, par exemple, la droite CDi {fig- 1 3i) ; le point El ayant pour ordonnée a se transforme en le point E ayant pour ordonnée h\ la transformée est la droite CE. On peut opérer autrement. Une droite B,R rencontrant la droite donnée en P, se transforme en BR; donc le point P s'obtient en prenant l'intersection de BR avec la perpendiculaire abaissée de Pj sur le grand axe. Il est clair qu'en faisant ces opérations en sens inverse, on obtiendra la transformation inverse.

A une tangente au cercle correspond évidemment une tangente à l'ellipse; c'est, d'ailleurs, ce que l'on vérifie en écrivant les équations des tangentes, en deux points correspondants, à l'ellipse et au cercle. Une sécante au cercle se transforme en une sécante à l'ellipse,

les points d'intersection se correspondant.

Fi!

170. Applications. — 1° Mener par un point donné une tangente à une ellipse, connaissant les deux axes de cette ellipse.

Soit M le point donné {Jig. iSa); construisons le point Ml qui lui correspond dans la figure primitive, et menons par Mi des tangentes au cercle principal. Soit M,Ti l'une de ces tangentes; si elle rencontre en H le grand axe de l'ellipse, MH sera une tangente à l'ellipse au point T correspondant à Tj. Sur la figure, la seconde tangente MiUi au cercle rencontre l'axe AÂ.' trop loin pour qu'on puisse se servir de la trace de cette tangente; on a été obligé de transformer un point de cette tangente; le point U correspondant à Ui est le point de contact.

Fig. 134.

2° Mener une tangente parallèle à une direction donnée. — Soit BR la direction donnée [Jig. i33); il suffira de mener au cercle principal une langenie parallèle à BjR; on obtient deux tangentes au cercle; leurs transformées seront les tangentes à l'ellipse.

3° Intersection d'une droite et d'une ellipse. — On détermine l'intersection de la transformée de la droite avec le cercle principal, et l'on revient à la première figure {Jig. i34).

171. Application à la théorie des diamètres. — Le lieu des milieux des cordes d'un cercle qui sont parallèles à une direction donnée est le diamètre perpendiculaire à cette direction. En projetant la figure sur un plan, on en

conclut que le lieu des milieux des cordes d'une ellipse qui sont parallèles à une droite est un diamètre. En nommant m et m' les coefficients angulaires de deux directions conjuguées rapportées aux axes de l'ellipse, les coefficients

des directions correspondantes dans le plan du cercle sont -j-ni et j- /«'; ces dernières directions étant rectangulaires.

d'où

Deux diamètres rectangulaires d'un cercle sont conjugués; donc jections sur un plan sont deux diamètres conjugués de l'ellipse projection du cercle.

Considérons deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse {Jig. i35) : OM, OM', et construisons les diamètres correspondants dans le plan du cercle principal. Nous obtenons ainsi les deux demi-diamètres rectangulaires ON, ON'. Les triangles rectangles ONP, ONT' sont égaux, de sorte que