PM = OP

2 2 hi 2

P'M' =PN -i- ^OP ;

d'où

+ OM' = (OP -»- PN j ( I + — j = «2 ^ 62.

Enfin, le parallélogramme construit sur OM et OM' peut être considéré comme égal à la projection du carré construit sur les deux rayons du cercle principal, qui se projettent suivant OM et OM'; donc la surface de ce parallélogramme est égale à

a2 X cos8 ou ab:

on retrouve le second théorème d'Apollonius.

Si l'on considère une ellipse et un cercle se projetant suivant cette ellipse, à un parallélogramme inscrit dans l'ellipse correspond un rectangle inscrit dans le cercle; il en résulte que les côtés du parallélogramme ont des directions conjuguées dans l'ellipse, et le centre du parallélogramme coïncide avec le centre de l'ellipse. Parmi tous les rectangles inscrits dans un cercle, celui qui a la plus grande surface est le carré, que l'on peut considérer comme un rectangle inscrit dont les diagonales sont rectangulaires. Il en résulte que, si l'on inscrit dans une ellipse un quelconque des parallélogrammes dont les diagonales sont deux diamètres conjugués, tous ces parallélogrammes auront une même aire, qui sera plus grande que l'aire de tout autre parallélogramme inscrit; cette aire est, d'ailleurs, égale à lab.

A un parallélogramme circonscrit à une ellipse correspond un losange circonscrit au cercle; ses diagonales sont rectangulaires. Donc. les diagonales d'un parallélogramme circonscrit à une ellipse sont deux diamètres conjugués, et, en outre, le parallélogramme ayant pour sommets les points de contact du premier a ses côtés parallèles aux diagonales du parallélogramme circonscrit. Tous les parallélogrammes circonscrits à une ellipse et dont les côtés ont des directions conjuguées ont la même aire, égale à ^ab, et cette aire est plus petite que celle de tout autre parallélogramme circonscrit à la même ellipse.

172. Nous savons déjà que si une droite de longueur constante se meut de façon que ses deux extrémités glissent sur deux droites fixes, tout point de cette droite décrit une ellipse.

Quand les deux droites fixes sont rectangulaires, Fig. i36. cette proposition se déduit immédiatement de la

théorie précédente. En eil'et {fig. i36),si AM = «, BM = 6, A étant sur y' y, et B sur x' x, menons MiMP perpendiculaire à Ox et OMi parallèle à AB. On a

OM, = AM = a.

et, si l'on trace MN parallèle à Ox,

ON =BM = 6.

On voit donc que Mj décrit un cercle de rayon <z, et que M décrit une ellipse dont les axes dirigés suivant 0:p el Oy ont pour longueurs la, 2 6.

Anomalie excentrique.

173. L'équalion de l'ellipse rapportée à ses axes de symétrie

est vérifiée en posant x =^ a cosfp, y ^=b simy.

Pour trouver la signification géométrique de Tangle cp, il suffit de remarquer que le point M, du cercle principal, correspondant au point M de l'ellipse, a pour coordonnées X:=acoscp, Y z= a sincD : l'angle co est donc l'angle que le rayon OM, fait avec Oic.

On nomme souvent l'anffle co Vanomalie excentrique du point M.

On déduit immédiatement de cette remarque la relation entre les paramètres cp, cp' des extrémités M, M' de deux diamètres conjugués, car nous avons vu que OM'^ est perpendiculaire à OMj ;

donc on a co'= es h- ■ de M',

A"Tr; donc si x\ y' sont les coordonnées

37' = — sasincp, j''=£6cosç.

L'équation de la tangente au point cp est

celle de la normale

arcoscp ^sino

ax hy

coscp sintp Les coordonnées du centre de courbure sont

a? = -T cos-»©,

;- sin3(

On le voit en appliquant la théorie des enveloppes.

L'équation de l'hyperbole passant par M et ayant les mêmes foyers que l'ellipse donnée est la suivante :

sin^o

174.. Connaissant les paramètres tpi, o-i, 03, ç^ de quatre points d'une ellipse, exprimer que ces points sont sur un cercle. — Il suffit d'exprimer que la droite joignant deux de ces points et la droite joignant les deux autres ont des coefficients angulaires égaux et de signes contraires, ce qui donne, après simplification,

?1 "^ 'fî , „^, ?3 + ?4

COt

cot —

2o8 CHAl'ITUE XI.

<?1 -f- f 2 -i- ^3 -i~ ?4 = 2 A-TT.

Cette relation est nécessaire. Elle est suffisante, car si on la suppose remplie, en appelant cp' le paramètre du quatrième point d'intersection de l'ellipse et du cercle passant par les points <p<, cpa, 'fa. on aura

(p, -t- (^2 H- O3 -+- cp' — 2 ^'tT,

d'où

cp' — cp4 -!- -i /i' TC — 2 Â: TI ,

ce qui exprime que les points M' et M.; coïncident.

175. Relation entre les paramètres des pieds des normales issues d'un

point donné. — L'équation de l'hyperbole d'Apollonius relative au point

P(a, P) étant

c-xy -1-62^37 — a^ajK = o,

les paramètres cp des points communs à cette hyperbole et à l'ellipse sont déterminés par l'équation

c2 sintp coscp 4- 6 p coscp — «a sine? = o.

En posant tang|cp = t, on obtient

En nommant ?>,, la somme des produits p à p des racines de l'équation précédente et en remarquant que i — S2 -+- 84= o et Sj — S3 ^ o ( en supposant a et p différents de zéro), on obtient

Si l'on considère le point diamétralement opposé à l'un des quatre pieds des normales, en posant cp' = cp4-t- tt, on a

ce qui démontre le théorème de Joachimsthal.

EXERCICES

4. Soient A, B deux points fixes, appartenant à une ellipse, M un point variable de la même courbe. Prouver que le segment déterminé sur l'un quelconque des axes par les perpendiculaires élevées aux milieux des cordes AM et BM a une longueur constante.

2. D'un point M d'une ellipse on mène les normales MMj, MIVI2, MM3, et la normale en M, qui rencontrent l'un des axes aux points Ni, N2, N3. N. Dé-

montrer que le cercle décrit sur MN comme diamètre passe par les points Pi, Pj, P3 obtenus en prenant sur les trois premières normales les segments

mp7 = n7MÎ, MF2 = i^^, mp; = n7mI.

3. Le lieu du point de rencontre d'un diamètre d'une conique à centre avec la perpendiculaire abaissée d'un point fixe P sur le diamètre conjugué au premier est l'hyperbole d'Apollonius relative au point P.

4. Le lieu d'un point M tel que sa polaire, par rapport à une conique donnée, soit perpendiculaire, à MP, est l'hyperbole d'Apollonius relative au point P.

5. Lieu des foyers des hyperboles d'Apollonius relatives à une ellipse donnée et à un point P, quand P décrit une droite fixe.

6. Lieu de M tel que, P et Q étant les projections de M sur les axes d'une ellipse, PQ soit tangente à cette ellipse {Kreuzcurvé).

7. On appelle quadrilatère normal inscrit à une conique celui qui a pour sommets les pieds des quatre normales issues d'un point, et quadrilatère normal circonscrit celui qui a pour côtés les tangentes aux pieds de ces normales.

Prouver que, dans tout quadrilatère normal inscrit à une ellipse rapportée à ses axes, le produit des coefficients angulaires de deux côtés opposés est

Cirai a ^. •

8. Chercher dans quel cas la somme des anomalies des points d'intersection d'une ellipse rapportée à ses axes et d'une conique quelconque est un multiple entier pair ou impair de n.

Examiner le cas où les deux coniques sont hom,othétiques.

9. D'un point P pris sur la développée d'une ellipse on mène la normale double PA, et les normales simples PB, PC. Trouver les lieux des pôles des cordes AB, AG et BC, quand le point P se déplace sur la développée. Prouver que BG est normal à une ellipse fixe.

10. Si l'on projette un point d'une ellipse sur ses axes et qu'on trace la corde qui passe par ces projections, cette corde^ est normale à une seconde ellipse; et les normales menées par ses extrémités se coupent en un point situé sur la développée de l'ellipse donnée.

il. En conservant les notations précédentes etçi désignant l'angle d'anomalie du pied de la normale double PA, calculer les aires des triangles ABG et DEH, les sommets de ce dernier étant les pôles des côtés du premier, et montrer que le premier aura une aire maximum et le second une aire minimum quand le point de départ P sera l'un des quatre points où les diamètres conjugués égaux de l'ellipse rencontrent la développée.