Lieu du centre du cercle circonscrit au triangle ABC

ii. Lieu du point tel que la somme des carrés des normales menées de ce point à une ellipse soit constante.

On trouve

\o La somme algébrique des produits qu'on obtient en multipliant chaque normale issue de P par la projection sur cette ligne de la droite qui joint son pied au centre est égale à 'i{a'^-\- b^). (Joachimsthal. )

16. Si l'on projette sur les rayons vecteurs des pieds des normales issues d'un même point les longueurs comprises entre ce point et les quatre pieds, la somme des projections est une constante. (Joachimsthal.)

17. Mener d'un point à une conique à centre une droite qui ait une direction conjuguée de celle de la tangente en l'un des points où elle rencontre cette conique, par rapport à une conique à centre donnée.

48. Étant données dans un même plan une conique à centre G et une ligne quelconque A, de tous les points de A on mène deux tangentes à la conique et par les points de contact les deux, normales correspondantes; trouver le lieu B des points de rencontre de ces normales et réciproquement, connaissant la ligne B, trouver le lieu D des pôles des cordes joignant deux des pieds de normales issues des points de B.

On examinera les cas particuliers suivants : i" A est une parallèle aux axes ; 2° A est un diamètre; 3" A est une droite quelconque; 4° A. est le cercle 372 H- j2 = a2 ± 62; 5» ^ cst la conique «2^2+ b^x^ —±ia^b^; 6° A a pour

«2 62 équation — - dr — • =1.

Problème inverse : 1° B est la droite j' = mx -H n. En déduire ce résultat : Si d'un point pris sur le diamètre perpendiculaire à l'un des diamètres conjugués égaux on mène les quatre normales à l'ellipse, deux des sommets du quadrilatère normal circonscrit se meuvent sur le second des diamètres conjugués égaux et les quatre autres décrivent l'hyperbole xy =± ab.

Deux des côtés du quadrilatère normal inscrit sont parallèles à celui des diamètres conjugués égaux auquel on a mené un diamètre perpendiculaire,

tandis ,ue les deu. »«,., C.és enveloppe, l^perbole.^ =± f .

2° La ligne B est la développée. Dans ce cas on trouve pour D une ligne du dix-huitième degré qui se décompose en l'ellipse donnée et Ia kreuzcurve correspondante.