L'équalion de l'hyperbole rapportée à ses axes étant
on voit qu'un grand nombre de propriétés de l'ellipse sont applicables à l'hyperbole. En général, les calculs relatifs à l'hyperbole se déduisent de ceux relatifs à l'ellipse en changeant simplement b'^ en — 6^; exception doit être faite pour les propriétés dans lesquelles intervient l'hyperbole conjuguée de la proposée. Dans ce qui va suivre, nous indiquerons sans démonstration tous les résultats qui se déduisent des résultats analogues concernant l'ellipse, en changeant b'^ en — b-.
Développée de l'hyperbole.
177. La développée de l'hyperbole a pour équation (aX)3-(èY)^=c3.
Les coordonnées du centre de courbure relatif au point (^, y) sont X= —ûc^,Y := —r^y^ ; on a posé c-=^ a-+ b-.
Les branches infinies de la développée sont paraboliques; la direction de la tangente en un point tend à devenir perpendiculaire à l'une des asymptotes; on obtient une courbe ayant la forme ci-contre {fig. i38).
Nous appellerons région extérieure de la développée celle où se trouve le centre de l'hyperbole.
178. Hyperbole d'Apollonius. — L'hyperbole d'Apollonius relative au point P(a, [3) a pour éqiiation
(H) c-xy — b'^^x — a^'xy:=o.
On peut construire facilement le centre; en effet, l'équation précédente ne changeant pas quand on remplace l'hyperbole donnée par une hyperbole homothétique et concentrique, remplaçons-la par la conique dégénérée formée par ses deux asymptotes. Les pieds des perpendiculaires abaissées du point P sur les asymptotes sont des points de l'hyperbole d'Apollonius; on peut d'ailleurs le vérifier directement. Cela étant, le triangle rectangle OCP {Jig- iSg) étant inscrit dans l'hyperbole équilatére H, en vertu du théorème de Frégier la normale au point G est parallèle à l'hypoténuse OP et il en est de même au point D; donc G
et D sont diamétralement opposés; par suite le milieu o) de GD est le centre cherché.
179. Théorème de Joachimsthal. — Même énoncé et même démonstration que pour l'ellipse.
180. Discussion de la réalité des normales issues d'' un point. — La méthode fondée sur l'emploi de l'équation en \ s'applique au cas de l'hyperbole.
Fig.
iSg.
uv
2l4 CHAPITRE XII.
La seconde méthode exigeant quelques modifications, il convient de la reprendre en détail.
En désignant par a:, y les coordonnées du pied de l'une des normales issues de P(a, (3), nous posons
aH
a^-oL
d'où
el nous avons à discuter l'équation
On voit immédiatement que l'équation /(^) ^ o a au moins une racine comprise entre — oo et — a- et une racine comprise entre bet + 00, d'où il résulte que deux au moins des normales issues du point P sont réelles.
Pour étudier la nature des deux autres racines, il faut calculer la dérivée /'(^). Or
-fit)- -"^"'^ ■ ''^'
L'équation f'{t) = o n'a qu'une seule racine réelle tt , définie par l'équation
(«a)3 (6P)» (gay^ — (63P
ti-i-a^ ti — b^- 6-2
et l'on en déduit
[1 2T3 iaccy-jb^rl JKH) = —-, I-
Nous" sommes ainsi conduit à distinguer trois cas.
Premier cas : {acf.y — (6[3)^< o. — Dans ce cas, /(^,) < o. La racine t^ est moindre que — a- 5 dans les deux intervalles de — a- à H- b^ et de b- à +00, la fonction f[t) varie toujours dans le même sens; par suite, l'équation /(i) = o n'a qu'une racine réelle comprise entre — a- et -j-^^, et n'en a aucune dans l'intervalle de b^ à + 00; enfin, quand t varie de — 00 à — a-, la fonction f{t) va en
décroissant de — i à son minimum, puis va en croissant jusqu'à
+ 00; elle s'annule donc pour une seule valeur réelle de t, comprise
entre t\ et — a-; donc il n'y a que deux normales réelles. Dans
ce cas, le point Pest dans la même région que le centre, par rapport
à la développée.
Deuxième cas : («a)' — (Z>[^)'^^o. — La dérivée ne s'annule
pour aucune valeur finie de t] la fonction f{t) varie donc dans le
même sens, dans tout intervalle où elle est continue; donc il n'y a
encore que deux normales réelles. Le point P est aussi, dans ce
cas, à l'extérieur de la développée.
Troisième cas : (aoi'y — (6,3)'>>o. — Alors /, >> b^. Dans l'intervalle de — GO à — «^, f{t) varie en croissant de — i à + oo. Dans le second intervalle de — <2^ à + ^^> elle varie en décroissant de + oc à — oc. Dans chacun de c^s intervalles, l'équation /"(O = o a une racine réelle. Enfin considérons le dernier intervalle. Il peut arriver que l'on ait : i°y(/|)<<o. Alors, dans l'intervalle de b^ à ^) , la fonction y(f, ) croît de — co à un maximum négatif /(^i ), puis elle décroît, dans l'intervalle de i< à + oc, jusqu'à — 1 5 donc elle ne s'annule pas dans l'intervalle de 6- à +00; le nombre de normales réelles reste encore égal à 2, et le point P est d'ailleurs dans la région extérieure à la développée; 2°/(^,)=o; alors ;, est une ra-' cine et c'est une racine double de l'équation f(t) = o rendue entière; il y a trois normales réelles, ou mieux quatre normales réelles dont deux confondues en une seule; le point P est alors sur la développée; 3° /(ti)'^o, le maximum de /(t) étant positif, on voit que l'équation y(^) ^ o a une racine réelle entre b'^ et t^ et une autre entre t, et -t-00, donc en tout quatre racines réelles. Le nombre des normales réelles issues de P est donc égal à 4 et le point P est à l'mtérieur de la développée. En résumé, le nombre de normales réelles qu'on peut mener d'un point P à une hyperbole est égal 3 4,3 ou 2, suivant que le point P est à l'intérieur de la développée, sur la développée ou à l'extérieur.
181. Relations entre le pôle normal (a, P) e^ le pèle tangentiel {x^^yi) d'une droite, par rapport à une hyperbole. — On a les formules
Xi( yl 4-62) ~ y\{oc\ — a^) ~ b'^x\ — ci'^y\ '
182. Application. — Lieu des sommets des angles droits dont les côtés sont normaux à une hyperbole. '
Il suffit d'éliminer Xi tiyi entre les équations précédentes et celle-ci :
On obtient l'équation suivante
(a2— è2)(a2-+- J32)(è2a2— «2 p2y2 cV(„2p2| 62a2)2= Q,
qui représente une courbe du sixième degré, ayant un point quadruple isolé à l'origine, et possédant quatre asymptotes parallèles aux asymptotes de l'hjperbole donnée.
183. Diamètres conjugués. — La relation entre les coefficients
angulaires : mm! ^^ —■, montre que deux diamètres conjugués passent
tous deux dans l'angle^ Oj^ou dans l'angle x'Oy. Il suffît évidemment, par raison de symétrie, de supposer m > o; alors, si m varie de o à
-, m' varie de +oo à - et, par suite, l'angle des deux diamètres a a ^ 7 o
varie de 90° à 0°, en décroissant.
De deux diamètres conjugués, l'un coupe l'hyperbole donnée,
l'autre ne la coupe pas, mais il rencontre l'hyperbole conjuguée en
des points réels. Pour cette raison, soient OM et OM' {^fig. i4o) deux demi-diamètres conjugués et supposons que l'extrémité M soit sur l'hyperbole donnée 5 soit M' l'un des points de rencontre de OM' avec l'hyperbole conjuguée. On pose OM = a', OW—h' et l'on dit que a! est un demi-diamètre réel et h' un demi-diamètre imaginaire.
Si l'on prend OM et OM' pour axes de coordonnées, l'équation
de l'hyperbole donnée, rapportée à ces nouveaux axes, sera
et celle de l'hyperbole conjuguée
La tangente en M à l'hyperbole proposée et la tangente en M' à la conjuguée, forment avec OM et OM' un parallélogramme; le quatrième sommet N est sur une asjinplote.
484. Formules de Chasles. — En appelant {x^y)\es coordonnées de M et {x' ^y') celles de M', on a
--, = —, ou -Ç •-, = ; ;
on en déduit
Au moyen de ces formules, on peut démontrer les théorèmes d'Apollonius :
a! b' sinO = ab, 9 étant l'angle de deux diamètres conjugués.
185. Remarque. — Cherchons le lieu des points d'où l'on peut mener à une hyperbole deux tangentes ayant des directions conjuguées.
L'équation aux coefficients aftgulaires des tangentes issues du point {x,y) étant
m-(x- — a-) — mxy -i-^^-!- 6^= o,
les coordonnées d'un point du lieu vérifient la relation
y^-h b^ b^ x^ — a^- ^ ô^' ou
Cette équation représente une hyperbole dont tous les points sont à l'intérieur de la proposée; donc les tangentes issues d'un point du lieu sont imaginaires.
L'équation du lieu précédent s'obtient d'ailleurs en changeant b^ en — b^ dans l'équation du problème analogue concernant l'ellipse. Il convient de remarquer que ce problème est essentiellement différent de la proposition rappelée plus haut : le lieu des sommets du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de l'hyperbole se compose des asymptotes; dans ce dernier problème on fait intervenir l'hyperbole et sa conjuguée.
