I -f- tang2ia
aitang^ia
1 — tang2ia*
•^ i — tang^ia
a7 = atangp, y
cos^
Si p = a, M et M' sont les extrémités de deux diamètres conjugués, OM étant réel et OM' étant le diamètre imaginaire.
Les coordonnées x, y d'un point de l'hyperbole donnée peuvent aussi s'exprimer au moyen des fonctions hyperboliques en posant
x = aGh(D, y = bS\ic^.
La tangente au point cp a pour équation
Chcp Shcp
En appelant 2C la distance des foyers réels, l'équation
.^2 yi
Gh2(
Sh2çp
représente l'ellipse ayant les mêmes foyers que l'hyperbole donnée et passant par le point tp.
La normale au point © a pour équation
Cho Sho
Le centre de courbure est à l'intersection de la normale et de la droite définie par l'équation
bY
Gh3o ■ Sh3
donc, ses coordonnées sont X
c^ChScD
p c^Sh'ç
PROPRIÉTÉS SPÉCIALES DE l'hYPERBOLE RELATIVE A SES ASYMPTOTES.
188. Un système de cordes parallèles admet le même diamètre par rapport à toutes les hyperboles qui ont les m.êmes asymptotes et en particulier par rapport aux asymptotes elles-mêmes.
En effet, l'une quelconque de ces hyperboles est représentée par une équation de la forme
k désignant une constante; or cette constante disparaît dans l'équation du diamètre conjugué à la direction (a, ^).
189. Corollaire. — Les segments déterm.inés sur une droite par une hyperbole et par ses asymptotes sont égaux.
Fig. 142.
Cette proposition est importante ; elle permet de construire autant de points qu'on veut d'une hyperbole dont on connaît les asymptotes et un point.
Soient A' A, B'B {Jig. 142) les asymptotes d'une hyperbole et P un point de cette courbe. Si l'on mène une sécante quelconque par le point P, Q et R étant les points de rencontre de cette sécante avec les asymptotes, il suffît de prendre
QM = PR, pour avoir le second point d'intersection de la courbe avec la sécante.
De même, on obtient le point M' sur la sécante PQ'R'qvii rencontre la courbe en deux points situés sur deux branches difFérentes. On peut déterminer la tangente en un point, par exemple au point P \ il suffît de mener par le point P une sécante telle que P soit le milieu du segment déterminé sur cette sécante par les asymptotes; il suffit pour cela, par exemple, de mener PH parallèle à B'B et de prendre HK = OH ; la tangente demandée est la droite PK.
190. Théorème. — Le produit des segments compris entre un point d^ une hyperbole et ses asymptotes est égal au carré du demidiamètre parallèle.
Rapportons rhyperbole à ses axes et soient (^05 ^0) les coordonnées d'un point par lequel nous menons une sécante dont les paramètres directeurs principaux sont a, ^. Les longueurs p', p" des segments déterminés sur cette sécante par les asymptotes sont fournies par l'équation
(iPo-l-ap)2 (7„-f-Pp)2
ou
axo
Le demi-diamètre parallèle a pour longueur r, racine de l'équation
Fig. 143.
Donc le produit des segments p', p" est égal à /*-.
Considérons l'hyperbole donnée et sa conjuguée et soient {fig. i43) OA', OB' deux diamètres conjugués. Si la sécante PMM' est parallèle au diamètre imaginaire OB', la démonstration précédente prouve que
PM,PM' = — ÔB'^
D'autre part, si la sécante PNN' est parallèle à un diamètre réel de l'hyperbole donnée, on a
