OA
Réciproquement, si p'p"= r-, on a
et le point P est sur l'hyperbole.
Fif
191. Application. — Trouver les points communs à une droite et à une hyperbole déterminée par ses asymptotes et un point.
Menons par le point donné K{Jig. i44) une parallèle à la sécante et soient P, P' les points où cette parallèle rencontre les asymptotes. Si la droite donnée rencontre l'hyperbole aux points M et M' et les asymptotes en Q, Q', on aura, par exemple :
MQ.MQ'=AP.AP'.
D'après cela, faisons passer un cercle par les points Q et Q' et sur une corde RR' égale à PP', prenons RS = PA; le cercle concentrique au
premier et passant par S coupera la droite donnée aux deux points cherchés M, M'.
192. Construire deux diamètres conjugués d'une hyperbole dont on donne les asymptotes et un point, la direction de V un des deux diamètres étant connue.
Fig. 145.
Soient {^fig. 145) P le point donné et OA' la direction de l'un des diamètres. Pour fixer les idées, supposons ce diamètre réel, c'est-à-dire supposons qu'il soit dans l'angle des asymptotes où se trouve le point P. En menant PQQ' parallèle à OA', on a
a'2 = PQ.PQ'.
Le diamètre OA' est donc la moyenne géométrique PR des deux segments PQ, PQ'. En outre, le diamètre conjugué à OA' passe par le mi-
lieu de QQ'. Prenons OA'=PR; menons A'C parallèle à OS, et, par le point de rencontre de A'C avec l'une des asymptotes, menons CB' parallèle à OA'; le point de rencontre B' avec OS est l'extrémité du second diamètre. La construction serait analogue si l'on donnait la direction d'un diamètre imaginaire. D'ailleurs, quand on a la direction de l'un des diamètres, on a, comme on l'a vu, immédiatement celle du diamètre conjugué.
193. Construire les axes d'une hyperbole, connaissant deux diamètres conjugués en grandeur et direction.
Soient (/t^. i46) OA'et OB' les deux diamètres donnés. Supposons
OA' réel ; le point A' est un point de l'hyperbole cherchée. La diagonale OG du parallélogramme construit sur OA' et OB' est l'une des asymptotes, l'autre est parallèle à la seconde diagonale A'B'. Les bissectrices des angles formés par les asymptotes donnent les directions des axes. Nous sommes ramenés au problème précédent. Menons A'PQ parallèle à l'axe transverse; la longueur du demi-axe iransverse est la moyenne géométrique de A'Pet A'Q; on peut construire directement le demi-axe imaginaire en construisant la moyenne géométrique des segments A'R, A'S déterminés par les asymptotes sur la parallèle à l'axe imaginaire.
Fi g.
Coordonnées asymptotiques.
194. Si l'on prend pour axes de coordonnées les asymptotes d'une hyperbole, l'équation de cette courbe sera de la forme
xy = k.
Si l'on suppose les directions positives des axes choisies de façon que la courbe ait une branche dans l'angle xOy, la constante k sera positive. En menant {fig. 1 47) la tangente au sommet Aqui rencontre
OC
Ox en C et prenant le milieu D de OC, on a OD = DA = — • Or
OA=a,AC = b,OC = ^a'-+b'^=c, et Fig. 147.
