A: = OD.DA = OD
l'équation de la courbe est donc
On arrive encore à ce résultat en posant, dans l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes,
L'équation obtenue exprime que l'aire du triangle déterminé par une tangente et les asymptotes est constante. La réciproque s'établit facilement : l'enveloppe d'une droite qui détermine sur les cotés d'un angle donné un triangle d'aire constante, se compose de deux hyperboles conjuguées ayant pour asymptotes les côtés de l'angle donné.
La relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués se réduit à m -h m' = o; cela montre bien que les asymptotes sont conjuguées harmoniques par rapporta deux diamètres conjugués et, par suite, qu'elles sont les rayons doubles de l'involution définie par les diamètres conjugués.
Ce système de coordonnées est très avantageux pour l'étude de l'hyperbole
équilatère. Voici un exemple de leur emploi. Soit ABC un triangle rectangle
en A, inscrit à une hyperbole équilatère; x^, x^, X3 étant les abscisses des
k k k trois sommets, les ordonnées correspondantes sont — > — > — • Exprimons
Xi X2 ^3
que l'angle BAC est droit, ce qui donne la condition
A-2 -(- X^X^Xj = o.
Le coefficient angulaire m de l'hypoténuse est égal à ; on a donc
/n = -y = — : ce qui exprime que BC est parallèle à la normale en A. "^ yi
, EXERCICES
i. Trouver le lieu de l'orthocentre du triangle formé par deux diamètres conjugués variables d'une hyperbole donnée.
224 CHAPITRE XH.
2. On mène la tangente en un point d'une hyperbole : trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle formé par cette tangente et par deux diamètres conjugués. Même problème pour l'ellipse.
3. Construire le lieu des sommets des angles droits dont les côtés sont normaux à une hyperbole.
4. Trouver la relation entre les paramètres angulaires de quatre points d'une hyperbole situés sur un cercle.
5. Même question pour les pieds des normales issues d'un point donné.
6. Une lanterne est fixée à une poulie M pouvant glisser sur une corde fixée en un point fixe A et passant sur une poulie fixe. La corde est tendue et supposée réduite à un fil sans épaisseur, les poulies sont supposées réduites à leur centre. Lieu des positions d'équilibre de la poulie M.
7. Lieu de la projection de l'extrémité d'un diamètre sur son conjugué.
8. Les trois hauteurs d'un triangle inscrit à une hyperbole équilatère se coupent sur cette hyperbole. — Vérifier en rapportant l'hyperbole à ses asymptotes.
