Exemples

L'origine est un point double, les tangentes étant les bissectrices des axes. En posant y = tx, il vient, après qu'on a supprimé x^,

{t — l)(t-hl)-hX{l— ^3) + 2 «4 0^2=0.

Il y a deux branches réelles passant par l'origine.

Etudions d'abord la branche tangente à la première bissectrice. On peut écrire l'équation précédente de cette manière :

(f — i) (2 H- a) -+- ît'*x^= o.

On reconnaît ainsi que t — i doit être négatif, c'est-à-dire

y — X <. o si a?>o et y — a;>o si a7<o.

La branche considérée présente, par suite, une inflexion ; elle est représentée sur la /ig. 19 en GOD.

Pour l'autre branche, nous écrirons l'équation sous la forme

(«-hl)(— 2 + a)4-^(2-f-P) = o,

ce qui prouve que x(t -+■ i) est positif ou ^ 4- j; > o ; donc on a une seconde

3o CHAPITRE lY.

branche EOF tangente à la seconde bissectrice du côté des y positifs.

En posant jK = tx et supprimant x''-, on obtient

Posons « = i-!-Xj7, ce qui donne, en supprimant x""-,

L'équation X2-i-3X-4-'2 = o a deux racines réelles, X' = — i, X" = — 2; d'après ce que nous avons vu plus haut, il suffit de construire les arcs voisins de l'origine et définis par les équations

y\ = x — x^, y.^ = x — -ix'^\

on a donc la forme indiquée sur la fig. 20.

3° {y — xY — i^y — x^x'''-\-x^ — x^ — ^6=0.

L'équation en t est

En posant t = i -h Xx, on obtient, après suppression de x^,

On voit que, si X — i tend vers zéro, une détermination de x tend vers zéro" par valeurs positives, ce qui nous conduit à poser

L'équation en 8 sera 62 — i = o; ses racines sont 6' = -1- i, 6"= — i. Il suffit donc de considérer les valeurs approchées

Fig. 21.

Xi = i-H ^x , X2 = I — ^x ,

auxquelles correspondent

ti— l -i- x{l -\- \/x), t2=l-hx[[ — \/x)

et, par suite,

yi= X -h x^{i-h \/x), y^ = X -h x^{f — \/^).

Nous construisons d'abord la parabole

ÉTUDE d'une courbe ALGÉBRIQUE, ETC. 3l

et nous en déduisons que la courbe proposée présente un point de rebroussement de seconde espèce avec deux arcs ODi, OD2 {^fig. 21).

Remarque . — On étudierait, s'il y avait lieu, les branches tangentes à Oy en posant x = ty.