AF = ^ + 37 = FM
le triangle AFM est donc isoscèle. On peut aussi remarquer que
tang(FM, AM) =
- tang(AM ,
kx)
Théorème. — Le symétrique du foyer par rapport à une tangente à la parabole est sur la directrice et le pied de laperi^ pendiculaire abaissée du foyer sur une tangente est sur la tangente au sommet.
Ces propositions résultent immédiatement de la propriété de la tangente. On peut les établir par le calcul. L'équation d'une tan-
gente étant
mx-\- — »
P lin
on aura le lieu du pied H {fig- 1 55 ) de la perpendiculaire abaissée du foyer sur cette tangente en éliminant m entre celte équation et l'équation
my
L'élimination conduit à l'équation
ou
ce qui donne la tangente au sommet et le faisceau des droites isotropes issues de F.
Le point H étant le milieu de FG, l'abscisse de G est — — ; donc l'autre proposition est également établie.
223. Corollaire. — Les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur trois tangentes quelconques sont en ligne droite; donc le foyer est sur le cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes. La tangente au sommet est la droite de Simson relative au foyer, dans ce cercle. Il en résulte immédiatement que la directrice passe par le point de concours des hauteurs du triangle considéré.
224. Problème. — Mener par un point une tangente à la parabole.
1° Si le point est sur la parabole, il suffit d'élever une perpendiculaire au milieu de la droite qui joint le foyer au pied de la perpendiculaire abaissée du point donné sur la directrice.
2° Le point donné n'est pas sur la parabole. — Le point symétrique du foyer par rapport à une tangente étant sur la directrice et sur le cercle ayant pour centre le point donné Pet pour rayon PF, il suffit de chercher les points de rencontre de ce cercle avec la directrice. On voit qu'à chacun de ces points correspond une tangente. La condition de possibilité est que le point donné soit plus près de la directrice que du foyer, c'est-à-dire soit extérieur.
225. Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée. — Le symétrique du foyer par rapport à la tangente est à l'intersection de la directrice avec la perpendiculaire menée du foyer à la direction donnée. Il en résulte que le problème est possible et n'a qu'une solution, pourvu que la droite donnée ne soit pas parallèle à l'axe.
226. Intersection cfiine droite et d'une parabole. — Chaque point commun à une parabole et à une droite est le centre d'un cercle langent à la directrice et passant par le foyer et par le symétrique du foyer par rapport à la droite donnée. On est ramené à construire un cercle passant par deux points et tangent à une droite. Pour que le problème soit possible, il faut que le symétrique du foyer soit situé du même côté que le foyer par rapport à la directrice. Si la droite est parallèle à l'axe, elle ne rencontre la parabole qu'en un seul point à distance finie.
227. Théorème de Poncelet. — Les tangentes à une parabole issues dhtn point extérieur font des angles égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec V axe.
Le cercle décrit de P comme centre avec PF pour rayon {^fig. i56) coupe la directrice aux points D, D'. La perpendiculaire au milieu de DF est tangente en M, DM étant parallèle à l'axe. Soit PM' la seconde tangente menée par P. La droite PB étant parallèle à l'axe, je dis que les angles BPM et FPM' sont égaux. En effet, les angles BPM et FDD' sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires et les angles FPM' et FDD' sont égaux comme ayant même mesure. Traçons FM et FM'. Les angles MFP et MDP sont égaux puisque MF et MD sont symétriques par rapport à PM; de même les angles PFM' et PD'M' sont égaux; mais le triangle PDD' étant isoscèle, il en résulte que les angles PDM et PD'M' sont égaux; donc
PFM = PFM'.
On peut encore remarquer que, les angles PMF et BPM étant égaux, les triangles PFM et PFM' sont équiangles; on en déduit que
