IV

Mais

d'où

y^y" -^ {p -\- qxY= q {ipx -\- qx^),

ce qui, tout calcul fait, donne

et, par suite,

j02 cos^V

en valeur absolue. De là, la construction suivante, en supposant, par exemple, qu'il s'agisse d'une ellipse. Menons la bissectrice de l'angle FMF' {fig. iSy),

c'est-à-dire la normale MN; menons ensuite la perpendiculaire NA à la normale jusqu'à sa rencontre en A avec l'un des deux rayons vecteurs, et enfin

la perpendiculaire AG à ce rayon; cette perpendiculaire rencontre la normale au point G, qui est le centre de courbure relatif au point M.

EXERCICES

1. D et D' étant les projections de deux points M, M' d'une parabole sur sa directrice, la droite qui joint le foyer au milieu de DD' est perpendiculaire

la corde MM'.

2. Soit M un point variable d'une ellipse ayant pour foyers F et F'. Lieu du pôle de FF' par rapport aux paraboles passant par F et F' et ayant leur foyer en M. Enveloppe des directrices de ces paraboles.

3. Lieu des centres des cercles inscrits ou exinscrits à un triangle dont deux sommets sont les deux foyers d'une ellipse (ou d'une hyperbole) et le troisième sommet, variable, décrit la courbe.

4. On mène les normales aux extrémités d'une corde focale d'une conique ; la parallèle à l'axe focal menée par le point de concours de ces normales passe par le milieu de cette corde.

5. En prenant pour axe des x un diamètre d'une ellipse et pour axe des^ la tangente à son extrémité, former l'équation du cercle osculateur à ce point et en déduire la formule

b'3 N3 ao p^

6. Soit G le point de rencontre des normales en M et M' à une ellipse; en désignant l'angle aigu de ces normales par G et par cp et çp' les angles MFM', MF'M', on a

2G = ç -i-cp';

si M' est infiniment voisin de M, on en tire

ds [ ds ds\ ,,