Tj- = ( ' ^ — ) COSV

V étant l'angle que la normale en M fait avec le rayon vecteur MF.

25o CHAPITRE XIV.

En déduire l'expression de R.

7. De la relation MF -4- MF' = 2 a, tirer la limite du rapport des cosinus des angles qu'une corde MM' de l'ellipse fait avec les rayons FM et MF' quand M' s'approche indéfiniment de M.

Plus généralement, connaissant l'équation y(if, p) = o d'une courbe en coordonnées bipolaires et nommant a et ^ les angles que la tangente en M fait avec FM et MF', on a

cosQi du -h cos a di> = o, c'est-à-dire -^ cosa rCosB=o.

ou di> ^

8. Trouver le lieu des points équidistants d'une parabole et de son foyer. On trouve '2yp(x^-+-j^^) — ^{x — pY = o.

9. Mener une tangente commune à deux coniques ayant un foyer commun.

10. Montrer que deux paraboles qui ont un foyer commun ont au plus deux points communs réels.

M. Trouver l'angle sous lequel se coupent deux paraboles ayant un foyer commun.

12. On joint le centre d'une ellipse à un point M de la courbe; trouver le lieu du point de rencontre de cette droite avec la perpendiculaire abaissée d'un foyer sur la tangente en M.

13. Si des foyers d'une conique on abaisse des perpendiculaires sur la tangente en un point M, les droites joignant les pieds de ces perpendiculaires aux foyers se coupent sur la normale en M et au milieu de cette normale.

14. Étant donnée une conique, mener par un point donné A une corde telle que la droite joignant le point A au pôle de cette corde lui soit perpendiculaire. Montrer que la droite cherchée est bissectrice de l'angle FAF'.

15. Une ellipse de grandeur constante se déplace de façon que les deux foyers décrivent deux droites données. Lieu des tangentes parallèles à l'une de ces droites.

16. La somme ou la différence de deux cordes focales parallèles à deux diamètres conjugués est constante.

17. Par un point d'une ellipse on mène deux cordes focales; lieu du pôle de la corde qui joint leurs extrémités.

18. Lieu du point de concours des normales menées aux extrémités d'une corde focale.

19. On mène une corde focale par un foyer et l'on joint ses extrémités à l'autre foyer; lieu du centre du cercle inscrit au triangle ainsi formé.

PROPRIÉTÉS FOCALES DES CONIQUES; TRACÉS QUI EN RÉSULTENT. 25l

20. Les segments d'une sécante compris entre une ellipse et ses directrices sont vus du pôle de cette sécante sous des angles égaux.

21. Si l'on joint deux points fixes d'une ellipse à un point variable de cette courbe, la portion de la directrice comprise entre les deux cordes obtenues est vue sous un angle constant du foyer correspondant.

22. F étant un foyer et A, A', A" trois points d'une conique, on mène FA, FA', FA" et l'on décrit de F comme centre un cercle qui coupe ces rayons en a, a, a". Sur aa', a a", a" a respectivement, on prend des points B", B. B' tels que

aB" FA' «^ FA" a^ FA

B"a' ~ fa' Ba" ~ FA'' B' a ~ FV'

et de ces points on abaisse des perpendiculaires sur AA', A' A", A''A; démontrer : i^que ces perpendiculaires se coupent en un même point P; 2' que FP est l'axe focal; 3" « étant le point où a F rencontre de nouveau le cercle et F' le second foyer, prouver que

aP AF'

7p "" ÂF ■

23. Deux ellipses ont un foyer commun; l'une est fixe et l'autre tourne autour de ce foyer : 1° Enveloppe d'une sécante commune; 2° Lieu du point de concours des tangentes communes.

24. Lieu des foyers des coniques inscrites à un parallélogramme. Vérifier le résultat obtenu au moyen de la solution donnée au n° 219.

25. Démontrer par le calcul que la distance du foyer d'une parabole au pôle d'une corde est la moyenne géométrique de ses distances aux extrémités de cette corde; prouver que cette propriété n'appartient qu'à la parabole.

26. D'un point P pris sur l'axe focal d'une conique, on mène une sécante qui la rencontre en deux points M, N ; prouver que

MFP NFP

tang X tang = const.