DÉTERMINATION D'UNE CONIQUE
229. L'équation générale d'une conique contient cinq paramètres ; par conséquent, pour déterminer une conique, il faut donner cinq équations entre des quantités connues et les cinq paramètres. Lorsque les conditions auxquelles la conique cherchée est assujettie s'expriment par des équations du premier degré par rapport aux paramètres de l'équation générale, ce sj'stème d'équations peut présenter trois cas. Il peut avoir une seule solution, être indéterminé ou impossible; de sorte qu'il j aura une seule conique répondant à la question, ou bien il y en aura une infinité, ou enfin aucune conique ne pourra vérifier les conditions données.
Parmi les conditions auxquelles une conique peut être assujettie, les plus simples sont de passer par un point donné ou d'être tangente à une droite donnée. Chacune de ces conditions s'exprime par une équation. Ainsi, les coordonnées d'un point {xo, yo) étant données, on exprime que la conique représentée par /(^ly) = o passe par ce point en écrivant la condition f(xoi J^o) =^ o; de sorte que l'équation générale des coniques passant par ce point est évidemment
-\-C{y'--yl) + -2D{x — Xo)-h-2E(y-yo) = o.
De même, si l'équation tangentielle de la conique est F(m, p, w) = o, on exprime que la conique est tangente à la droite ajant pour coordonnées Uf, Vi, Wi, en posant F(w,, c,, w,) = o.
Il convient de remarquer que cette condition est linéaire par rapport aux coefficients de l'équation tangentielle, mais non par rapport aux coefficients de l'équation générale ponctuelle.
Ainsi, un point donné vaut une condition; de même une tangente donnée. Un point et la tangente en ce point valent deux conditions;
DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE. 253
en effet, si (xo, /o) sont les coordonnées du point et m le coefficient angulaire de la tangente en ce point, on doit poser les deux équations y(^o?^o)= o, f'jc^ -+- mfy^=z o, qui sont toutes les deux linéaires par ra]>port aux coefficients de l'équation ponctuelle.
Ce que nous venons de dire s'applique d'ailleurs à une courbe d'ordre ou de classe quelconque.
Nous savons déjà qu'une conique est déterminée, sous certaines réserves, quand on donne cinq points ou cinq tangentes. Dans chacun de ces cas, le problème a une seu^e solution ou bien en a une infinité. Mais si l'on donne cinq éléments, points et tangentes, le problème peut avoir plusieurs solutions, car les équations de condition ne sont plus toutes linéaires par rapport aux coefficients de l'équation générale, ponctuelle ou tangentielle.
230. On nomme élément remarquable d'une conique tout élément : point, droite ou courbe, qui est déterminé quand la conique est donnée.
Ainsi le centre, les sommets, les foyers, les pieds des perpendiculaires abaissées des foyers sur les asymptotes, les points de rencontre de l'axe focal et des directrices correspondantes sont des points rem,arquables. Les axes de symétrie, les tangentes aux sommets, les asymptotes, les directrices, les diamètres conjugués égaux (dans le cas de l'ellipse), etc., sont des droites remarquables. Le cercle principal, les cercles directeurs, le cercle de Monge, la développée, etc., sont des courbes remarquables.
Si la détermination d'un élément remarquable dépend de la détermination de/> paramètres, la connaissance de cet élément vaut p conditions. En effet, si la conique était donnée, on pourrait écrire p équations entre les coefficients de son équation et les paramètres de l'élément remarquable considéré; puisque cet élément est donné, on a /? équations entre des constantes et les paramètres de la conique. Exemple : si l'on connaît un foyer (;ro, ^o)j on peut écrire ces deux équations
4(A - G)/(^o, jKo) =fl-fy\^ 4B/( 070,70) = A/;„
en supposant les axes rectangulaires.
Si l'on se donne un axe ayant pour équation u^x -\- v^y -1- w, = o, on pourra former l'équation F(a:, j^) = o du faisceau des axes et
exprimer que F{a;,y) est divisible par UiX -\- Çiy -\- w^, de sorte que
et W2^ H- <^2jK + «^2=0 représentera le second axe.
On peut encore procéder ainsi : s'il s'agit d'exprimer que
s- — Xq Y — To a b
est l'équation d'un axe de symétrie, il suffît d'écrire que cette droite est le diamètre des cordes qui lui sont perpendiculaires; or ce diamètre a pour équation
ce qui fournit évidemment ces deux conditions
Si la connaissance d'un premier élément remarquable vaut yo conditions et celle d'un second/>' conditions, la connaissance simultanée de ces deux éléments remarquables ne vaut pas toujours p -\- p' conditions, mais le plus souvent un nombre moindre. Il peut, en effet, arriver que, l'un de ces éléments étant connu, le second soit, par cela même, assujetti à quelque condition. Par exemple, si l'on donne un axe de sjmétrie, le second étant nécessairement perpendiculaire au premier, il suffît de donner l'un de ses points pour achever sa détermination. Les deux foyers, le centre et un foyer valent quatre conditions; mais les deux axes de symétrie ne valent que trois conditions. Les deux foyers réels et un axe de symétrie ne valent que quatre conditions, car, si les foyers réels sont connus, les axes sont déterminés.
D'une manière plus générale, si un élément remarquable dépend de p paramètres et que ces p paramètres soient déjà assujettis à q conditions, la connaissance de cet élément équivaudra seulement à p — q conditions.
Il est ordinairement avantageux de former, si c'est possible, l'équation générale des coniques assujetties aux conditions données; en comptant combien il reste de paramètres arbitraires, on saura combien les données valent de conditions distinctes. Ainsi, par exemple,
DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE. 255
l'équalion générale des coniques ayant pour axes de symétrie deux droites rectangulaires données est, en prenant ces droites pour axes de coordonnées, de la forme Ax- + Cy^ +1 = 0. Cette équation renfermant deux paramètres arbitraires, il en résulte que donner la po sition des axes de symétrie d'une conique, c'est donner trois conditions.
Il convient de faire ici une remarque. Si l'on a formé l'équation d'une conique satisfaisant àp conditions et que cette équation contienne 5 — p paramètres, on ne peut pas toujours en conclure, en toute rigueur, que l'équation obtenue soit bien l'équation générale des coniques assujetties aux p conditions données. Ainsi, par exemple, si l'on assujettit une conique à être bitangente à deux coniques données, on l'assujettit à quatre conditions, mais l'équation
trouvée (t. I, p. 475), ne représente pas toutes les coniques bitangentes à deux coniques données, quoique cette équation renferme un paramètre arbitraire |Ji.
231. Si la conique donnée est une hyperbole équilatère ou une parabole, il y a une relation entre les coefficients de son équation; donc il suffira de quatre conditions pour déterminer une courbe de cette espèce. La condition qui exprime que la conique est une hyperbole équilatère étant linéaire par rapport aux coefficients de l'équation ponctuelle, par quatre points donnés, il ne passe qu'une hyperbole équilatère, ou bien toute conique passant par ces points est une hyperbole équilatère. L'équalion du cercle ne renferme que trois paramètres ; aussi avons-nous déjà remarqué que trois conditions suffisent pour déterminer un cercle.
232. Quand une courbe d'espèce donnée est connue en grandeur, il reste à déterminer sa position; 11 faut, en général, trois conditions pour cette détermination. Prenons, en effet, pour axes de coordonnées, (oX, toY, deux droites rectangulaires liées invariablement à la courbe considérée; par exemple, les deux axes de symétrie s'il s'agit d'une conique à centre. La position de la courbe sera déterminée si l'on connaît la position des axes toX, wY par rapport à deux axes Ox^ Oy. Or, la position des axes wX, wY est déterminée dès que l'on connaît les coordonnées de w et l'angle que wX fait avec Ox, en supposant, bien entendu, le plan xOy orienté. Toutefois cette
conclusion est en défaut dans certains cas particuliers ; ainsi deux paramètres suffisent pour déterminer la position d'un cercle dans un plan : les coordonnées de son centre.
Nous savons qu'il faut points pour déterminerune courbe
plane d'ordre m; il résulte de ce qui précède que le nombre de paramètres de grandeur d'une pareille courbe est égal à — ^^ — — 3.
233. Nous ajouterons une dernière remarque qui n'est pas superflue. Dire qu'un problème est déterminé, cela signifie qu'il a un nombre déterminé de solutions. Ainsi il n'y a qu'une conique tangente à cinq droites; il y a quatre coniques tangentes à trois droites et passant par deux points. Chasles a démontré qu'il y a, en général, 8264 coniques tangentes à 5 coniques données (voir Salmon, Sections coniques, p. 6y3, Note sur les Caractéristiques).
234. Méthodes à suivre pour trouver l'équation du lieu d'un point remarquable d^ une conique assujettie à quatre conditions.
Il y a deux méthodes : la première consiste à écrire les deux équations qui détermineraient les coordonnées x^y dvL poiht remarquable dont on demande le lieu, si les coefficients de l'équation de la conique étalent donnés, puis à former les quatre équations qui sont la traduction algébrique des quatre conditions données. On a ainsi obtenu six équations entre a?, y et cinq paramètres variables. Si l'on peut éliminer ces cinq paramètres ou encore si l'on parvient à exprimer a; ety au moyen d'un seul paramètre, la question est résolue.
La seconde méthode consiste à former d'abord l'équation générale renfermant un seul paramètre, des coniques assujetties aux quatre conditions données, et ensuite à éliminer le paramètre entre les deux équations qui déterminent les coordonnées d'un point du lieu. Dans un grand nombre de cas, il est avantageux de se servir de l'équation focale.
235. La formation de l'équation générale des coniques assujetties à quatre conditions n'est pas toujours facile si l'on tient à n'avoir qu'un seul paramètre au lieu de n paramètres liés par n — i équations. Nous croyons utile de donner quelques exemples.
1° Equation générale des paraboles circonscrites à un triangle. —
DÉTERMINATION d'uXE CONIQUE. 257
Prenons pour axes de coordonnées les deux côtés OA, OB du triangle OAB et posons OA = a, OB = b. L'équation générale des paraboles qui passent par l'origine est
{y — mxY-+- iTix -\- lEy = o,
en exprimant que cette équation est vérifiée pour x =^ a, y =o, et pour a? = o, y :=b, on trouve 2D = — m'^a^ 2E = — b ; l'équation cherchée est donc
{y — nixY — 7n-ax — by = o.
1° Equation générale des paraboles inscrites à un triangle. — Prenons les mêmes axes que dans l'exemple précédent. L'équation d'une conique tangente aux deux axes de coordonnées est de la forme
Cette équation représentera une parabole si X = '-, ce qui donne
pq
X y \2 ^xv
p 9 / pq
jVous savons d'autre part (t. I, p. 479) que la condition nécessaire et suffisante pour que la droite AB soit une tangente est que la corde des contacts des deux tangentes OA, OB passe par le quatrième sommet du parallélogramme construit sur OA et OB; on doit donc poser
On en déduit immédiatement que l'équation demandée est de la forme [y — b ~ ni{x — a)Y-\- \nixy — o.
3° On donne deux axes rectangulaires Ox, Oy et sur l'axe des x un point A ayant pour abscisse a. On considère les ellipses pour lesquelles le point O est un sommet d'axe non focal et la parallèle à l'axe des y menée par A est une directrice. Trouver l'équation générale de ces coniques. — L'équation d'une ellipse ayant son centre sur Oy et son axe focal parallèle à Ox est de la forme
en supposant if2>X2. La distance de la directrice au centre est égale à
, donc
NiEWENGLOWSKi. — G. an., n. 1.7
La courbe ne peut être réelle que si l'on suppose X^ < m^, ce qui nous conduit à poser \ = u sin«f , d'où u = a cosip et X = a sinep cos(f . L'équation considérée devient ainsi
x'^ sin2© -\-j^ — saisines cosç = o,
ou, en posant tangcp = [x,
[x^ x^ -h (i -^ lJ.^)y^ — ia [xy = o.
4° Former l'équation générale des coniques ayant pour centre Vorigine des coordonnées et normales à deux droites données parallèles aux axes, que Von suppose rectangulaires. — L'équation générale des coniques ayant pour centre l'origine est
A a?^ -f- 2 B irjK + Cj^ ^ p = o.
Pour que x = ol représente une normale, il faut et il suffit qu'il y ait une valeur de ;k vérifiant les deux équations
Aa2 4-2Baj-4- Gj2(F — o, AaH-B^ = o, d'où l'on tire, en éliminant j',
(i) Aa2(AC — B2) + FB2 = o.
De même,
Gp2(AC — B2)4-FB2=o
exprime que jk = ^ représente une normale. Par conséquent Aa2 = G [32, ce '
qui nous conduit à poser
Aa2=G!32=XB,
X désignant un paramètre arbitraire; en outre,
L'équation demandée peut donc se mettre sous la forme
5° Former Véquation générale des coniques dont on donne une tangente avec son point de contact, et les points où- cette tangente rencontre lea deux directrices réelles. (M. Maiue, Examens de l'École Polytechnique.^
Prenons pour axe des x la tangente et pour axe désola normale au point de contact; nous choisirons pour paramètre le coefficient angulaire du rayon allant d'un foyer au point de contact. Soient x^ et x^ les abscisses des points
DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE. 209
t>. D' {fig. i58) où les directrices coupent la tangente donnée. On sait que
la droite OF est perpendiculaire à FD, F étant le foyer correspondant à la
directrice qui passe par D; donc, en
appelant m le coefficient angulaire de Fig. i58.
OF, les coordonnées du foyer F sont
„ mxQ
de même, les coordonnées de l'autre foyer F' sont
puisque les coefficients angulaires des
rayons vecteurs OF, OF' sont égaux et de signes contraires. Le coefficient
angulaire de FF' est donc égal à
Xq — X\
et, par suite, la directrice relative au foyer F a pour équation
{xq — x^){^x — Xçi) -!- m^Xfi^ xOy = o. Par conséquent, la conique a une équation de la forme Xo \- / mx„
-) — X2[(iCo a-j)(.r — a-o) + m{xQ-\-Xi)yY\
en écrivant qu'elle passe par l'origine, on obtient
donc enfin, l'équation demandée est de la forme
a"o \ - . / mxn
ou, en développant.
) =(«.^-HO(^«-^i)^^^-^^~''^^^^~^''^'^"'''^"-^^'^-^î'
., „ Xq-It Xi {xq — x{)^ — ^m'^XoXx „ ^mx^x, in^x- — -i. m xy H yz ':rTi y — y = ^•
Xq Xi
{XQ—Xif
Xo — x^
6" Former l'équation générale des paraboles dont on donne le paramètre, un point D de la directrice et un point k de la tangente inclinée à 45° sur l'axe. (M. Marie, Examens de l'Ecole Polytechnique.) — Prenons pour axe des x la droite AD, l'origine étant le point D et l'axe des ^ étant perpendiculaire à l'axe des x. L'équation d'une parabole de la famille
26o CHAPITRE XV.
considérée est de la forme
(i) {x — a)2-f-(^ — p)2 = (a7 costp -\-y sino)*.
L'axe a pour équation
coscp sincp
On sait que la tangente à 45° passe par le point de rencontre E de l'axe et de la directrice; les coordonnées de ce point vérifient l'équation (2) et l'équation
(3) ar cos<p -4- j' sino = o.
En résolvant ces équations et tenant compte de la condition
(4) a cosç -t- P sincp = jo,
on obtient
x = a — pcos'f, y = ? — josino.
Si h est l'abscisse du point A, le coefficient angulaire de EA es
P — p sino a — p cos cp — /t
Le coefficient angulaire de l'axe étant égal à tango, nous devons poser, pour exprimer que EA fait un angle de 45° avec l'axe,
8 — p sin CD ^ — P ^in '^
— ^ —r — tangcp = n- tangcp — '—r-^ '-— ,
a — jocosip — h ' a — p coscp — h
ou, en simplifiant,
(5) a sincp — [3 coscp = A (sincp + coscp).
Donc
a = jD cos cp -4- /i ( sin C3 + cos C3 ) sin cp,
^ = p sin C2 — /i(sin'-3 -+- coscp) coscp.
L'équation demandée est donc la suivante
[x — /> coscp — A(sinç -+- coscp) coscp]^
-h [j' — p siuip — /i(sinç H- coscp) coscp]2 = [x coscp -h^ sincp )2.
Lieu des foyers des paraboles représentées par l'équation précédente. — Les équations
a cosç 4- p sinœ =p,
(h -h p) coscp -\- (h — a) sincp = o donnent
coscp sin 3 I p
^{a — hf-h{^~hhy a(a — /t)H-p(j3 — /<)
DÉTERMINATION D'uNE CONIQUE. 261
L'équation cherchée est donc
elle représente un limaçon de Pascal.
Autres exemples d'équations générales.
1236. Équation générale des coniques ayant pour axe de symétrie une droite donnée . Première méthode. — '^o\Xux -\- vy -\- w =^ o l'équation de celte droite ; une conique répondant à la question peut être considérée comme bitangente à un système de deux droites perpendiculaires à la première, la corde des contacts étant la droite donnée. L'équation cherchée est donc
{vx — Il y -\-\)^vx — uy -h ]x) + k{ux -\- vy -\- w)-= o, À, iji, A" étant des paramètres arbitraires.
Seconde méthode. — Dçnnons-nous l'équation de la droite sous
la forme
X cosa -\- y sina + A = o,
l'équation demandée est alors
A{x cosa -+- y sin oi -{- h)- -h B{x sina — y cosa + A')2= i,
A, B, h' étant des paramètres variables, s'il s'agit de coniques à centre, ou
(x cos a + y sina + h)'- — ip(x sina — y cosa -1- h') = o, s'il s'agit de paraboles; dans ce cas,/? et /i' sont deux paramètres.
237. Equation générale des coniques passant par trois des points communs à deux coniques données. — Soient :r<, y, les coordonnées du point que l'on veut exclure. L'équation de la première conique étant /(.r, y^ z) ■= o, on peut l'écrire ainsi :
d'ailleurs
àf àf df
xf- -hy -^ -f- z -f- =0, dx ày dz
àf àf df
xi -j^ -hyi ^ -\- zi-f- = o;
262 CnAPITRE XV.
donc, on peut aussi écrire l'équation /= o sous cette forme
D'autre part, on a identiquement / N àf df df df df df
Retranchant membre à membre (i) et (2) et posant z = Zi = i, on obtient
De même, l'équation g-(x, y, z) = o de la seconde conique peut s'écrire
Si X, y sont les coordonnées de l'un quelconque des points communs aux deux coniques autres que le point (^1,^1), les différences x — Xi et y — yi ne sont pas toutes deux nulles; donc les coordonnées a;, ^vérifient l'équation
(5) /^/ + i/ u^ + ^^ f'^i + ÊL] ('£ + ^
\ôx ôxj\ôy dyj \dy dyi}\ôx dxy
En désignant par h le premier membre, on voit que l'équation demandée
est
X et [JL désignant deux constantes arbitraires.
En général, l'équation (5) n'est pas vérifiée quand on y remplace a; et^ par iPi, yx, si l'on suppose que les deux coniques ne sont pas tangentes au point {xi,yi).
Dans la solution précédente, le point exclu est supposé à distance finie; supposons-le à l'infini et soient
{ax -\- by)(a. X -+- '^ y) -\-\y x -^'E y -\-¥ =0, {ax -+- by){rt'x -h '^'y) -h D' x -\- E^ + F'= o,
les équations de deux coniques ayant une direction asymptotique commune. Les coordonnées d'un point commun à ces deux coniques, autre que le point à l'infini, vérifient l'équation
(6) (a,r-)- <^y){Y)'x-^ E> -^ F') — (a'a? + p>)(Da7 + Ej' + F) = o,
qui représente une conique n'ayant pas pour direction asymptotique la direction donnée, si l'on suppose que les deux coniques n'ont pas d'asymptote commune. On achève comme dans le premier cas.
DÉTERMIXATION d'uNE CONIQUE. 203
