Nous établirons d'abord le lemme suivant, dû à Sturm

Quand trois coniques ont deux points communs A, B, les trois droites passant par les deux autres points communs à chaque couple formé par deux des trois coniques sont concourantes.

En effet, soient^/" = o, fi = o, y2 = o les équations des trois coniques données et soit a = o l'équation de la corde commune à ces trois coniques.

Les coniques y et /"i se coupent encore en deux points G, D; soit p = o l'équation de cette seconde corde commune. Soit de même y = o l'équation de la corde EF commune aux coniques / et f^, E et F étant les deux autres points communs à ces deux coniques. Les équations des coniques fi et fz peuvent, d'après cela, se mettre sous la forme

/ -h k 1x^ = 0, /-+-A"'aY = o;

en retranchant ces équations membre à membre, on obtient l'équation d'un système de sécantes communes k fi elf^, savoir :

l'une de ces sécantes est la droite AB; l'autre, qui a pour équation

passe par le point de concours des droites CD et EF.

239. Théorème de Pascal. — Les côtés opposés d'un hexagone inscrit à une conique se coupent en trois points situés en ligne droite, et réciproquement.

Soient(yi^. i59)A,B, C, D,E, F six points d'uneconique; joignons-les deux à deux d'une manière quelconque, de manière à former un hexagone, et numérotons les côtés, en parcourant le périmètre: AB recevant le n° i, BG le n° 2, ..., FA le n° 6. Les côtés opposés sont ceux dont les numéros diffèrent de trois unités. Soient L le point de concours des côtés i, 4; M le point de concours des côtés 2,5 et P celui des côtés 3,6.

Considérons les trois coniques suivantes : 1° la conique donnée; 2° la conique formée parles deux droites AB, CD; 3° la conique formée par les deux droites DE et AF. Ces trois coniques ont deux

points communs, de sorte que AD est une sécante commune; d'après le lemme de Sturm, les trois sécantes BG, EF, LP sont concourantes ; ce qui démontre le théorème.

Autre démonstration, — Désignons par ai = o, a2=o, a3=o, «^=0, a3= o, ag = o les équations des six côtés de l'hexagone et soit p = o l'équation de AD. La conique proposée est circonscrite au quadrilatère ADBG; son équation est donc de la forme

aia3+ A'Dta [3 = 0 ;

cette conique étant circonscrite au quadrilatère ADEF, son équation est aussi de la forme

«4 as -1- A-'agp = o.

Les coordonnées d'un point quelconque de la conique vérifiant ces deux équations vérifient encore l'équation

A' ai 0:3 as — koLiCc^a^ = o,

obtenue en éliminant p. Cette équation du troisième degré représente une cubique dont la conique donnée fait partie; cette cubique se décompose donc en une conique et une droite. Or, les points L, M, P qui ne sont pas sur la conique sont sur la cubique; donc, ils sont sur la droite, ce qui démontre la proposition.

240. RÉCIPROQUE. — Si les points de concours des côtés opposés d'un hexagone sont en ligne droite, on peut faire passer une conique par les six sommets de cet hexagone. — En effet, la conique qui passe par les cinq points A, B, C, D, E coupe le côté AF en un point F' tel que le point de concours de BG et de EF' se trouve sur la droite LP ; donc F' est sur la droite EM et, par suite, F' est confondu avec le point F.

241. Remarque. — Etant donnés six points, on peut construire soixante hexagones ayant ces points pour sommets ; si les points donnés sont sur une conique, dans chacun de ces soixante hexagones, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite. On obtient ainsi soixante droites qu'on nomme des pascals. Ces droites jouissent d'un grand nombre de propriétés (voir Salmon, Sections coniques, p. 647).

Fig. 160.

242. Cas particulier du théorème de Pascal. — Si deux points A, F situés sur une conique se confondent, la droite AF a pour limite une tangente à la conique.

Il en résulte qu'étant donné un pentagone inscrit à une conique, on peut regarder la tangente à cette conique en l'un des sommets comme formant, avec les cinq côtés du pentagone, un hexagone inscrit. Ainsi {Jîg. 160),

Fig. i6i.

DÉTERMINATION d'dNE CONIQUE. 265

en considérant la tangente en A comme le sixième côté d'un hexagone inscrit, on voit que cette tangente passe par le point de concours des droites CD et LM ; elle est donc déterminée. Quand on connaît cinq points d'une conique, on connaît la tangente en l'un quelconque de ces points.

De la même façon, si nous considérons un quadrilatère inscrit à une conique, on peut compléter l'hexagone en adjoignant aux côtés de ce quadrilatère les tangentes en deux de ses sommets. On obtient en particulier ce théorème :

Les tangentes aux deux sommets opposés B, D d'un quadrilatère inscrit à une conique se coupent en un point situé sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés. Les tangentes aux deux autres sommets A, G se coupent sur la même droite.

C'est ce que nous avons d'ailleurs trouvé par une autre voie.

Enfin, si l'on considère un triangle inscrit, on peut dire que les tangentes aux sommets forment avec les côtés un hexagone inscrit et, par suite, on obtient ce théorème :

Les tangentes aux sommets d'un triangle inscrit à une conique rencontrent les côtés opposés en trois points situés en ligne droite (Jig. i6i).

243. Théorèmes de Mac Laurin et Braikenridge. — Le théorème de Pascal peut être énoncé d'une autre manière. Considérons, en effet, le triangle ALP {Jig. lôg) et supposons les points B, C, D, E,F fixes. Les côtés du triangle mobile ALP passent par trois points fixes B, F, M, et deux de ses sommets glissent sur des droites fixes, savoir : L sur la droite DE et P sur la droite CD. D'après le théorème de Pascal, le sommet libre A décrit une conique qui passe par les cinq points B, F, D, C, E. Ces points sont faciles à définir, car D est le point de concours des droites que décrivent les sommets L et P; C, L sont les points de rencontre de ces droites avec BM et FM respectivement. Donc, si deux des sommets d'un triangle glissent sur deux droites fixes, les trois côtés pivotant autour de trois points fixes, le sommet libre décrit une conique dont on connaît cinq points.

En particulier, si les points fixes B, M, F sont en ligne droite, la conique se décompose, puisqu'elle passe par les points B, C, E, F qui sont en ligne droite; donc, le point A décrit alors une ligne droite. On trouvera aisément les autres cas dans lesquels A décrit une ligne droite.

244. Théorème de Brianchon {corrélatif du théorème de Pascal). — Les droites joignant les sommets opposés d'un hexagone circonscrit à une conique sont concourantes.

En effet, si l'on transforme la figure par polaires réciproques en prenant

pour directrice la conique donnée, à l'hexagone circonscrit correspond un hexagone inscrit dont les côtés A', B', . . . sont les polaires des sommets du premier. Le point de rencontre V des côtés opposés A', D'est le pôle de ad\

de même, le point de rencontre m! des Fig. 162. côtés B', E' {fig. 16a) est le pôle de he

et le point de rencontre p' des côtés C, F' est le pôle de c/; les points l\ m', p' étant en ligne droite, leurs polaires ad, be, cf se coupent en un même point w, qui est le pôle de /' m' p' .

Remarque. — On peut d'ailleurs démontrer ce théorème directement en établissant d'abord un lemme corrélatif du lemme de Sturm. On pourrait aussi se donner les équations tangentielles des six sommets Pi = 0, Pj = o, P3 =0, P4 = o, P5 = o, Pe = o et l'équation du point de concours des tangentes af, cd: Q = o. La conique étant inscrite au quadrilatère formé par les côtés af, ah, bc, cd, son équation est de la forme

PiPs + XPsQ^o,

elle est aussi de la forme

P^Pc-t-HiPgQ^o;

en éliminant Q entre ces équations, on obtient

IxPiP3P5-XP21\Pg=o.

Cette équation représente une courbe de la troisième classe ; or elle est vérifiée pour tous les points de la conique donnée, donc elle représente cette conique et un point. Mais Pj = o, P4 = o représentent la droite a^; P2 = o, P5 = o représentent be et P3 = o, Pj = o représentent cf; ces droites, n'étant pas des tangentes à la conique, se coupent en un même point.

245. RÉCIPROQUE. — Si les droites joignant les sommets opposés d'un hexagone sont concourantes, on peut inscrire une conique à cet hexagone.

On sait qu'il y a une conique tangente à cinq droites; par suite, on peut inscrire une conique au pentagone formé par cinq des côtés de l'hexagone abcdef. Je dis que af est aussi langent à cette conique. En effet, menons par a une tangente autre que ab; elle coupera ef en un pointy, tel que cy passe par le point de concours 10 des diagonales ad, be donc : /' se confond avec f.

DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE. 267

246. Cas particuliers. — On sait que, si deux tangentes à une conique se confondent, leur point de rencontre a pour limite le point de contact devenu commun aux deux tangentes confondues. On peut, d'après cette remarque, appliquer le théorème de Brianchon à un pentagone, à un quadri-latère et même à un triangle circonscrit à une conique.

Soit {Jig. i63) un pentagone bcdef circonscrit à une conique; a étant le point de contact du côté bf par exemple, on regarde abcdef comme un hexagone circonscrit; il en résulte que ad passe par le point o) commun aux diagonales be., cf. Cette construction déterminera les points de contact des côtés du pentagone.

En second lieu, considérons un quadrilatère circonscrit à une conique {/ig. 164); en appliquant le théorème aux hexagones formés par les quatre sommets abcd et les couples de points de -contact des côtés opposés, on voit que les diagonales ac, bd se rencontrent en un point qui appartient aux droites ef, gh.

Fig. i65.

Fi g. 164.

Enfin, soit un triangle abc circonscrit à une conique,^, e, / étant les points de contact des côtés bc, ca, ab respectivement. Les droites ac?, be, cf qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés sont concourantes {fig. i65).

Application à la construction des coniques-

247. Les théorèmes de Pascal et de Brianchon permettent de construire, par points ou par tangentes, la conique qui passe par cinq points, ou qui est tangente à cinq droites.

i" Supposons que l'on donne cinq points A, B, C, D, E. Le théorème de Pascal, ou plutôt sa réciproque, permet de déterminer le point de rencontre de la conique qui passe par les cinq points donnés, avec une sécante quelconque AF menée par le point A. Si l'on détermine, en effet {fig. iSg), le point de concours L des droites AB, DE, et le point de concours P des droites CD, AF, et si BC rencontre LP en M, la droite ME rencontrera AP précisément au point F qui appartient à la conique cherchée. On aura donc

autant de points qu'on voudra de cette conique. On peut ensuite déterminer, comme nous l'avons vu, la tangente en chacun des points de cette conique. On pourra ainsi déterminer les tangentes en trois des points donnés et on achèvera la construction de la conique, comme nous le montrerons plus loin.

1° Supposons maintenant qu'on donne cinq droites. On pourra déterminer autant de tangentes qu'on voudra à la conique tangente à ces cinq droites. En effet, en appliquant la réciproque du théorème de Brianchon, on voit, comme plus, haut, qu'étant données les cinq tangentes aè, bc, cd, de, ef, pour avoir la tangente a/ menée par a, il suffit de déterminer le point co commun aux droites be, ad et de joindre le point a au pointy", intersection de cw avec la droite ef.

On a donc, par cette construction, autant de tangentes que l'on veut. En outre, les points de contact de ces tangentes sont déterminés; il suffit, en effet, d'appliquer la construction relative à un pentagone circonscrit, donnée plus haut.

248. Cela étant, dès que l'on connaît trois points et les tangentes en ces points, la construction de la conique peut être achevée. Mais remarquons d'abord que, si l'on connaît par exemple trois points et les tangentes en deux de ces points, la tangente au troisième point est déterminée; de même, si l'on connaît trois tangentes et les points de contact de deux de ces droites, le point de contact de la troisième est déterminé; cela, en vertu des théorèmes relatifs au triangle circonscrit ou inscrit à une conique.

Soient a, h, c trois points d'une conique et BG, CA, AB les tangentes en ces points. La droite AA', passant par le milieu A' de bc, est le diamètre conjugué à la direction bc. De même, B' étant le milieu de ac, BB' est le diamètre conjugué à la direction ac; par suite, le point de concours O de ces droites est le centre. Si les droites AA', BB' étaient parallèles, la conique serait une parabole; nous reviendrons sur ce cas particulier. Cela étant, si l'on mène OD parallèle à bc jusqu'à sa rencontre avec AG, OA et OD étant deux diamètres de directions conjuguées, le produit 6 A.6D = — 6'^, b' étant le demi-diamètre conjugué à la direction 0 6. Si è est entre A et D, en portant sur une parallèle à AG une longueur Oh égale à la moyenne géométrique de D6 et 6 A, Ob et Oh seront en grandeurs et directions deux diamètres conjugués de la conique, qui est alors une ellipse. La construction des axes en grandeurs et directions s'achève par le procédé que nous avons déjà donné (163). Si le point b n'était pas entre A et D, le diamètre conjugué à la direction 0 6 étant imaginaire, la conique cherchée serait une hyperbole. En prenant 0/i égal à la moyenne géométrique des segments 6A, 6D, on n'aurait plus qu'à construire une hyperbole connaissant deux diamètres conjugués en grandeur et direction, et sachant d'ailleurs que 0 6 est le diamètre