DÉTERMINATION DU.NE CONIQUE

réel; la construction s'achève donc encore dans ce cas par un procédé connu (193).

249. Revenons au cas de la parabole. Soient Ox, Oy deux tangentes, A et B leurs points de contact (fig. 167). L'axe est parallèle à la diagonale OC du parallélogramme construit sur OA et OB, puisque OC est évidemment un diamètre. On peut donc avoir aisément le foyer F; en effet, si l'on mène les droites AA' et BB' parallèles à OC, il suffit de remarquer que les angles

FBO et jkBB' sont égaux, ainsi que les angles FAO et xO\'. La tangente au sommet est la droite EH qui joint les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer F sur les tangentes Ox, Oy; le sommet S est le pied de la perpendiculaire abaissée de F sur EH. La parabole est donc déterminée.

Fig. 167.

230. Construire une hyperbole dont on donne les asymptotes et un point. — Soient {^g. 168) BB', CC les deux asymptotes et A le point donné; menons par A une sécante quelconque que nous nommerons i et une parallèle à BB' qui sera la droite 2; l'asymptote BB', la droite 3 ; la droite de l'infini est numérotée 4; enfin la seconde asymptote 5. Les droites i, 4 se coupent à l'infini dans une direction connue; 1; 5 se coupent en M; donc la droite de Pascal est la droite ML parallèle à la droite i ; ML coupe la droite 3 en P; la parallèle à CC menée par P est la droite 6, qui rencontre i au point D appartenant à l'hyperbole. Si AD coupe les asymptotes en E et H, on a EA = PM = DH, ce qui donne la construction bien connue.

On construirait d'une manière analogue une conique dont on connaît trois points et les tangentes en deux de ces points.

231. Construire une hyperbole dont on donne trois points A, B, C ainsi que les directions des asymptotes. — Remarquons d'abord que le lieu des centres des hyperboles qui passent par deux points donnés A, B, et dont les asymptotes ont des directions données, est la médiane relative au côté AB dans le triangle ABO, dont les côtés AO, BO sont respectivement parallèles aux directions données.

Cela étant, menons par A une parallèle à l'une des asymptotes et par B et C des parallèles à l'autre asymptote; ces droites se coupent en O et O'. Le centre de l'hyperbole cherchée est l'intersection de la droite joignant O

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au milieu de AB et de la droite joignant 0' au milieu de AC. Connaissant le centre et trois points, on a immédiatement trois autres points A', B', G' symétriques des premiers par rapport au centre. On peut achever au moyen du théorème de Pascal.