APPLICATIONS DU THEOREME DE DESARGUES A LA CONSTRUCTION DES CONIQUES
:232. Nous avons déjà trouvé une démonstration de ce théorème. On peut encore l'établir de la manière suivante : Soit
l'équation d'un faisceau ponctuel. Soient ctq, yo les coordonnées d'un point. Le point (a7o+ ap, jKo-H ^p) appartiendra à la conique /+ X/,, si p est racine de l'équation
f{xo-hap,yo-+-àp) -H X/i(a7o4- ap, jKo-+- ^P) = o.
Cette équation est de la forme
(M -H X Ml ) p2 -4- ( N H- X NO p + P + X P, = o,
M, N, P, Mj, Ni, Pi étant des coefficients constants; donc le faisceau détermine une involution sur la droite ayant pour équation
X — Tq y — 7'o
Cette involution est définie par deux couples de points, par exemple par les points où deux des systèmes de sécantes communes coupent la droite donnée.
Supposons, pour fixer les idées, que les coniques du faisceau se coupent
en quatre points a, b, c, d, et soit MN Fig. 169. la droite donnée. Les sécantes ab, cd
rencontrent MN aux points/»,/)'; bc,ad la rencontrent en q, q' et enfin ac et bd en /•, /-' {Jig. 169). Les six points p, p' ; q, q' \ r, r' sont en involution. L'involution est déterminée par deux couples de points associés. Les points doubles de l'involulion correspondent évidemment aux coniques du faisceau qui sont tangentes à MN ; donc il y a deux coniques de ce faisceau tangentes à MN.
Considérons en particulier le faisceau des coniques tangentes à deux droites en des points donnés; l'équation de ce faisceau est de la forme a^ -+- Xy^ = o.
DÊTERMINATIOX d'uNE CONIQUE.
Ces coniques tracent encore une involution sur une droite quelconque MN, et l'on connaît deux points associés et un point double de l'involution ; les points associés étant les points de rencontre de la droite donnée et des tangentes données, le point double est le point de rencontre de la corde des contacts et de la droite MN.
En transformant par polaires réciproques, on voit que les tangentes menées par un point fixe A à toutes les coniques d'un faisceau tangentiel forment une involution dont les rayons doubles sont les tangentes aux deux coniques du faisceau qui passent par le point A. En joignant le point A à tous les couples d"ombilics associés on obtient des rayons associés. Ainsi, si nous supposons les coniques inscrites à un quadrilatère abcd, si ab et cd se coupent en e et ao?, 6c en/ (^^. 170), on obtient les couples Aa, Ac; A6, A/i; Ae, Ay de rayons associés.
Fig. 170.
Fis.
En particulier, considérons les coniques tangentes en a et 6 à deux droites ac, bc. Les tangentes issues de A forment une involution dont Aa, B6 sont deux rayons associés et Ac est un rayon double {Jig- 171)-
Détermination d'une conique dont on donne cinq éléments composés de points ou de tangentes.
2o3. Nous savons déjà résoudre le problème quand on donne cinq points ou cinq tangentes. Il nous reste à examiner le cas où l'on donne :
1° Quatre points et une tangente;
2" Quatre tangentes et un point;
3° Trois points et deux tangentes;
4° Trois tangentes et deux points.
1° Soient a, 6, c, d les quatre points et E la tangente donnés; nous savons déjà que le problème a deux solutions. Il s'agit de construire les points doubles de l'involution déterminée sur E par le faisceau des coniques passant par a, b, c, d. Il suffit d'appliquer une construction bien connue. "Soient p, p\ q, q' {fig. lyi) deux couples de points associés déterminés comme nous l'avons fait plus haut; traçons dans le plan un cercle quelconque et joignons un point w de ce cercle aux points p, p', q, q'. Les droites obte-
nues coupent le cercle aux points a, a' et p, P'. Or, en vertu d'un théorème
connu (théorème de Frégier géné- Fig. 172. ralisé), les rayons toa, wa', apparte-
nant à une involution, aa' passe par un point fixe; en d'autres termes, le point d'intersection h de aa' et pp' est fixe. Il en résulte que les points doubles cherchés correspondent aux points de contact des tangentes au cercle issues de h. Ce qui montre que, si l'on construit la polaire kl du point h, il n'y a plus qu'à joindre w aux points de rencontre X, |j. de cette polaire avec le cercle pour obtenir en m et m' les points doubles demandés.
On est ainsi ramené à construire une conique connaissant cinq points. Le problème admet deux solutions qui, d'ailleurs, peuvent être réelles ou imaginaires.
1° On donne quatre tangentes A, B, G, D et un point e {Jig. I73). Il suffit de connaître une cinquième tangente; pour cela, on déterminera les rayons doubles de l'involution définie par les deux couples (ea, ec), (eb,ed). On emploie la construction donnée plus haut en menant un cercle quelconque passant par e, ce qui donne les deux droites eX, e;x. On a aussi deux solutions comme dans le premier cas. D'ailleurs ces deux problèmes sont corrélatifs.
Fig. 173.
3° on donne trois points a, b, c et deux tangentes D, E {fig. I74)- Proposons-nous de déterminer les points de contact d, e de ces tangentes. La droite ab rencontre D en y?, E en p' et de en l ; l est l'un des points doubles de l'involution (a, b; p,p'). De même ac rencontre D en q, L en q' et de
DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE.
en m; m est l'un des points doubles de l'involution (a, c; q,q')- D'après cela, si /, l' sont les points doubles de la première involution, m, »î' ceux de la seconde, la droite de sera l'une des quatre droites Im, V m, Im' , ml'. Le problème a donc quatre solutions.
4° Enfin, supposons qu'on donne trois tangentes A, B, G et deux points d, e {fig- 175). Proposons-nous de déterminer le point de concours des tangentes en d et e, ce qui permettra de construire ces tangentes. Soient h le point de concours de A et B et Me point de concours de D et E, Ih est un rayon double de l'involution (A, B, hd, he); de même k étant le point de concours de A et G, kl est l'un des rayons doubles du faisceau (A, G, kd, ke). On est donc ramené à trouver les rayons doubles de deux faisceaux en involution; soient L, L' les rayons doubles du premier faisceau,
M, M' ceux du second; le point l sera l'un des quatre points (L, M); (L', M') ; (L, M'); (L', M). Le problème a donc quatre solutions.
2o4. Cas de la parabole. — Quand il s'agit de construire une parabole on peut remarquer que la droite de l'infini est une tangente; donc on aura à résoudre l'un des problèmes suivants :
Construire une parabole connaissant quatre points, trois points et une tangente, deux points et deux tangentes, un point et trois tangentes, ou quatre tangentes.
Nous allons nous occuper de ces cinq problèmes.
1° Construire une parabole passant par quatre points donnés. — Les quatre points donnés A, B, A', B' étant réels, on peut toujours prendre pour axes deux droites concourantes sur chacune desquelles se trouvent deux de ces points. Supposons que A et A' soient sur Ox et B, B' sur Oy et posons
OK=a, ÔK = a, 0B = ^», ÔW^b'. L'équation générale des coniques passant par les quatre points donnés est
-7-|-X^7-l-^, —x{-^ -, ) —y ( r + r7 ) i -^ bb \a a ) \b b )
les paraboles correspondent à
\J aa! bb'
elles sont réelles si aa! bb' > o, ce qui exige que le quadrilatère AA'BB soit
convexe. Il y a donc deux solutions, et les paraboles répondant à la ques-
NlEWENGLOWSKI. — G. an., II. 18
tion sont définies par les équations
