HI

'aa s/hy ) " V« ' «'/ "^ V^

Supposons, pour fixer les idées, aa'>o, 66'>o. En construisant

ÔG = v/ôô^ ÔD = s/hh',

on voit que les axes des deux paraboles sont parallèles aux diagonales du parallélogramme construit sur OG et OD. Occupons-nous de la parabole dont l'axe est parallèle à OE. La polaire de 0 est la droite GH ; elle rencontre le diamètre OE au point K {fig. 176). Le point L, milieu de OK, est un point de la parabole. La tangente en L est parallèle à GH. Si l'on mène BP parallèle à GH jusqu'à sa rencontre en P avec OE, en prenant un point Q tel que L soit le milieu de QP, BQ est la tangente en B. On est ainsi ramené à une construction connue, puisqu'on a déterminé deux tangentes et leurs points de contact; on en déduit le foyer, et la construction s'achève sans difficulté.

Fig. 176. Fig. 177.

2° Construire une parabole dont on connaît trois points a, b, c et une tangente D. — \\ suffit d'appliquer la construction relative à une conique dont on donne trois points et deux tangentes. En effet, la droite de l'infini est une deuxième tangente. Soient d le point de contact de D et e le point de contact de la droite de l'infini; de est la direction de l'axe de la parabole; de sorte que, si ab rencontre D au point a, ce point est le point central d'une involution dont a et 6 sont deux points associés, puisque le correspondant de a est à l'infini (sur la tangente à l'infini); donc, si m est le point de rencontre de ab avec de {fig- 177), on a

am = a.a.a.b.

G'est d'ailleurs facile à établir directement, car, si l'on prend n tel que nd =^ dm, la polaire de m est la parallèle à dot. menée par n; d'où il résulte que m' et m étant conjugués harmoniques par rapport à a, 6 et a étant le

DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE.

milieu de mm' , on a bien

a. m = a m' = 'xa.ab.

Pareillement, si hc coupe D au point p, et de au point />, on a

On déterminera donc /n et m! tels que

et jD, p' tels que

a m = 7.m' =aa.a6,

^P'=^P' =36. Pc

et la droite de sera l'une des quatre droites pm, p' m' , pm' , p' m; la construction s'achève alors sans difficulté, car on pourra par exemple déterminer la tangente en a, et l'on sera ramené à un problème déjà traité : Construire une parabole connaissant deux tangentes et leurs points de contact.

3" Construire une parabole dont on donne deux points a, b et deux tangentes G, D. — En remarquant que la droite de l'infini est une troisième tangente E, on peut aisément construire la parabole demandée. On peut encore simplifier la construction de la manière suivante :

Soient c et c? (^^. 178) les points de contact inconnus des tangentes G, D ; d'après la remarque précédente, si l'on mène par le point c une parallèle à l'axe de la parabole, elle rencontre ab en un point m, tel que

<xni = cia.'xb,

7. étant le point comipun à ab et à G. De même, ab rencontrant D en p, si l'on mène par d une parallèle à l'axe de la parabole, on a

P^"^=p6.pa;

mais le diamètre passant par le point de concours des tangentes G et D passe par le milieu de mn et par le milieu de cd; il est donc déterminé, et, par conséquent, pour achever la solution, on détermine m et n comme il vient d'être dit; on mène hk, k étant le milieu de mn et les droites me, nd étant parallèles à hk, déterminent les points c, d. On connaît la longueur des segments %m et j3n, mais on peut porter ces longueurs dans deux sens différents. On aura donc quatre solutions.

4° Construire une parabole dont on connaît un point et trois tangentes. — On appliquera la solution générale en considérant la droite de l'infini comme une quatrième tangente.

5° Construire une parabole dont on connaît quatre tangentes. — On

276 CHAPITKE XV.

peut appliquer le théorème de Brianchon, On peut encore remarquer que le foyer est à l'intersection des cercles circonscrits à deux des triangles formés par les quatres tangentes. Le foyer connu, la tangente au sommet est déterminée et, par suite, la construction s'achève aisément.

Construire une conique dont on donne un foyer et trois points.

253. Solution analytique. — On donne cinq conditions : la conique est donc déterminée.

Soient A, B, G les trois points donnés et F le foyer. Prenons pour axes deux droites rectangulaires menées par F, et soient Xi, y^; x^, yi', x^, yz les coordonnées des points A, B, G. L'équation générale des coniques ayant pour foyer l'origine des coordonnées, étant de la forme

(i) x'^+y'^ = {lx -\- my -\- hy-,

le problème sera résolu si nous pouvons déterminer l, m, h de façon que l'équation (i) soit vérifiée quand on substitue aux coordonnées courantes celles des points donnés A, B, G. En désignant par di, d^, d^ les longueurs FA, FB, FG, et par si, z^, £3 des nombres égaux à H- i ou à — i, les équations du problème sont

Ixi -H myi + A = £1 c?i,

Ixi + myi -f- A = £2 d'2, Ix^ + my^ -H A = £3 dz.

Le déterminant du système est différent de zéro si l'on suppose que les points A, B, G ne sont pas en ligne droite; donc à chaque combinaison de signes des seconds membres correspond une solution et une seule. Mais il convient de remarquer que, si l'on a une solution /', m' , h! correspondant à £1, £2) ^3) 011 en déduit une seconde solution — l\ — /n', — A' qui correspond à — £1, — £2, — £3, et à ces deux solutions ne correspond qu'une seule équation (i), et, par suite, une seule conique. Il y a en tout a* ou huit combinaisons de signes -h et — ; donc le problème admet quatre solutions, qui correspondent aux combinaisons suivantes :

2" £i=-hl, £2=— t, £3=-i-I,

4' ei=+I, £2= -M, £3=-(-I.

Les trois premiers cas correspondent à des hyperboles; car, dans chacun de ces cas, deux des points sont d'un côté de la directrice et le troisième de l'autre côté, de sorte que deux points sont sur une branche et l'autre sur la seconde branche de l'hyperbole. Le quatrième cas dans lequel les trois points

DÉTERMINATION d'cNE CONIQUE. 277

sont situés d'un même côté de la directrice peut correspondre à une ellipse, à une hyperbole ou à une parabole.

256. Solution géométrique. — Supposons le problème résolu et supposons, par exemple, que les trois points A, B, G soient d'un même côté de la directrice correspondant au foyer F; le point G' {Jig. 179) où cette directrice rencontre AB est sur la bissectrice extérieure de l'angle AFB; de même, la directrice rencontre AG au point B' situé sur la bissectrice extérieure de l'angle AFG. Gela étant, menons les bissectrices de chaéun des angles BFG, GFA, AFB, et soient A', A"; B', B"; G', G" les points où ces droites coupent les côtés BG, GA, AB. Ges points ne sont pas autre chose que les centres de similitude directs et inverses des cercles ayant pour centres les points A, B, G et passant par F. On sait que les trois centres directs A', B', G' sont en ligne droite; deux centres

inverses A", B" et un centre direct G' sont en ligne droite. On a ainsi quatre axes; je dis que chacun de ces axes correspond à une solution. En effet, considérons par exemple la droite A'B'G'; on peut déterminer une conique et une seule, passant par A et ayant pour foyer F et pour directrice correspondante la droite A'B'G'; je dis que cette conique passe par B et par G. En effet, on a

FA FB ^