AG' ~ BG

donc le rapport des distances du point A au point F et à la droite A'B'G' est égal au rapport des distances du point B au point F et à la même droite A'B'G'; ce qui prouve bien que la conique passe par B; le même raisonnement montre qu'elle passe par le point G. On verrait de même que la conique ayant pour foyer F et pour directrice correspondante B'G"A", et qui passe par B, passe aussi par A et par G et de même pour les autres. Le problème admet donc quatre solutions. Trois de ces solutions sont évidemment des hyperboles; occupons-nous de la solution dont la nature n'est pas déterminée a priori.

Pour connaître le genre de la conique qui correspond aux bissectrices extérieures, donnons-nous A et B et cherchons dans quelle région doit se trouver le point G pour que cette conique ait un genre déterminé d'avance.

Par deux points A, B on peut faire passer deux paraboles ayant pour foyer le point F; les directrices de ces paraboles sont les tangentes communes aux deux cercles ayant pour centres A et B {Jig. 180) et passant par F. Ges paraboles n'ont pas d'autres points réels communs que A et B. Il est clair que, si l'on se donne un troisième point G, les paraboles trouvées déterminent des

régions séparatrices telles que l'on pourra mener une ellipse de foyer F passant par A, B, G ou non, suivant que G sera dans une de ces régions ou non. Il ne reste qu'à distinguer ces régions les unes des autres. Or la directrice d'une ellipse passant par A, B et ayant pour foyer F doit passer par G point

de concours des direc- Fig. 180. trices des deux para-

boles. Considérons, en particulier, la perpendiculaire à AB menée par G. La conique ayant cette droite pour directrice et le point F pour foyer est évidemment une ellipse, puisque AF est plus petit que AG.

Gette ellipse a pour axe focal la parallèle à AB menée par F; donc le point H, symétrique de A par rapport à cette parabole, est un point de l'ellipse; cherchons dans quelle région se trouve le point II. On a HF = FA, et le point II est évidemment plus éloigné de la droite GE que le point A; donc H est intérieur à la parabole ayant pour directrice GE. En second lieu, si le point H est du même côté de GD que A, il est plus près de GD que le point A, donc H est extérieur à la seconde parabole ; d'autre part, si H et A sont de part et d'autre de GD cette conclusion est évidente. Il en résulte que si le point G est extérieur à l'une des paraboles et intérieur à l'autre, il passera par les points A, B, G une ellipse ayant pour foyer le point F; si G est dans une autre région les quatre coniques seront des hyperboles. On a couvert de hachures les régions correspondant à une ellipse et à trois hyperboles.

Construire une conique dont on donne un foyer et trois tangentes.

2S7. On donne cinq tangentes, donc le problème ne doit avoir qu'une solution. Les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer donné sur les tangentes déterminent le cercle principal; son centre est le centre de la conique cherchée et le symétrique du foyer par rapport au centre est le second foyer. On peut aussi construire un cercle directeur en faisant passer un cercle par les symétriques du foyer donné par rapport aux tangentes. Si les pieds des perpendiculaires abaissées sur les tangentes sont en ligne droite, la conique cherchée est une parabole.

DÉTERMINATION d'uNE CONIQUE. 279

EXERCICES