Démonstration analogue pour le théorème corrélatif

8. Par un point D du plan d'une conique, on mène trois sécantes AA', BB', ce, et l'on prend un point M sur la courbe. Si l'on prolonge chacun des côtés du triangle ABC jusqu'à son intersection avec la droite qui joint le point M à la deuxième extrémité de la sécante aboutissant au sommet opposé, on obtient trois points situés sur une ligne droite qui passe par D. — Théorème corrélatif.

— On peut démontrer d'abord le théorème suivant :

On considère tous les cercles <j passant par deux points fixes, dont l'un c est sur la circonférence d'un cercle donné s, et l'autre sur une droite donnée l. Chacun des cercles a rencontre la droite l en un second

28o CHAPITRE XV.

point d' et la circonférence s en un second point c' ; la droite c' d' passe par un point fixe m de la circonférence s, quel que soit le cercle a considéré. En transformant homographiquement, on obtient une conique S, un faisceau S de coniques passant par quatre points fixes A, B, G, D (Za droite AB correspondant à la droite de l'infini). La droite l donnera une droite L passant par D. La droite CD', qui joint le second point d'intersection de chaque conique S avec la droite L au quatrième point commun aux deux coniques S et S, coupera la conique S en un point fixe M.

— On en déduit cet autre théorème :

On donne trois points A, B, C sur une conique S et un point D sur une droite L. Soient a, p, y les points d'intersection des droites BC, GA ef AB avec la droite L, et A', B', G' les seconds points de rencontre des droites AB, BG, GD avec la conique S. Les trois droites aA', ^B', yG' se coupent en un même point M situé sur la conique S. P. Aubert.

9. Lieu des foyers des hyperboles asymptotes à une droite donnée et tangentes en un point donné A à une seconde droite perpendiculaire à la première; 2° lieu du point d'intersection de la seconde asymptote avec la perpendiculaire à la directrice menée par A; 3° lieu du point de rencontre de la seconde asymptote avec la droite joignant un foyer au point de concours des deux droites données (Ecole Normale, 1867).

10. Deux paraboles de sommets fixes A et B et dont les paramètres sont invariables, tournent de façon que leurs axes soient rectangulaires. Lieu du centre du cercle qui passe par leurs points d'intersection (limaçon de Pascal).

11. Lieu des sommets des paraboles tangentes à une conique donnée et ayant avec elle un foyer commun.

12. Exprimer que deux coniques ont une asymptote commune ou une directrice commune, ou le cercle de Monge commun, etc.

13. Gonstruire une conique, connaissant un foyer, une tangente et deux points.

14. Gonstruire une conique, connaissant un foyer, deux tangentes et un point.

15. Gonstruire une conique, dont on donne un foyer, un sommet et une tangente.

16. Gonstruire une conique dont on connaît un foyer, un sommet et un point.

17. Construire une conique, connaissant un foyer, deux points et la tangente en l'un de ces points.

18. Construire une conique, connaissant une directrice et trois points.

RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. 28 1

19. Construire une conique, connaissant une directrice, le centre et un point.

20. Construire une hyperbole, connaissant une directrice, une tangente et un foyer.

21. Construire une hyperbole, connaissant les asymptotes et trois points.

22. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, une tangente et un foyer.

23. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un foyer et un point.

24. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, une directrice et une tangente.

23. Construire une parabole, connaissant la directrice et deux tangentes.

26. Construire une parabole, connaissant trois tangentes et la direction de l'axe.

27. Construire une hyperbole équilatère, connaissant le centre, une tangente et un point.

28. Construire une hyperbole équilatère, connaissant le centre, un point du plan et sa polaire ou le centre, une tangente et son point de contact. — On s'appuie sur cette proposition : le produit des distances du centre d'une hyperbole équilatère à un point quelconque du plan et à sa polaire est constant et égal au carré du demi-axe (A. Cazamian, Journal de Mathématiques spéciales, 1894).

RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS

Soit /(x) = o une équation algébrique; si l'on peut former deux équations g{x,y) = o, h(x,y) = o telles que l'équation aux abscisses des points communs aux courbes qu'elles définissent soit précisément /(a?) = o, on voit qu'à tout point réel commun aux deux courbes g, h correspond une racine réelle de l'équation /(o?) = o.

La réciproque n'est pas nécessairement vraie; il peut arriver en effet que, a désignant une racine réelle de l'équation précédente, les racines communes aux équations g{a^y) = o, h(a,y) = o ne soient pas toutes réelles, de sorte qu'à une racine réelle de l'équation y(ip) = o peut correspondre un point imaginaire (ayant une abscisse réelle) commun aux deux courbes g et h. Supposons ces courbes choisies de façon que tout point qui leur soit commun et ayant une abscisse réelle soit nécessairement réel; dans ce cas, le calcul des racines réelles de l'équation proposée /(a?) = o est ramené à la construction des points communs aux courbes gel h. En supposant les conditions précédentes vérifiées et les courbes g, h construites, une longueur déterminée étant prise pour unité, on mesurera avec cette unité les abscisses des points réels communs aux deux courbes, et l'on aura ainsi les valeurs numériques des racines de l'équation donnée : c'est ce qu'on appelle résoudre graphiquement cette équation. Nous allons appliquer cette méthode à quelques exemples simples.

Equation du second degré'. — Soit x^-hpa^ -h q = o.

En posant y = x^, on obtient l'équation y -\- px -\- q =.0. Donc il suffît de construire une parabole du second degré et une droite, et de déterminer leurs points communs.

On peut encore procéder ainsi : les racines de l'équation donnée sont les abscisses des points de rencontre de l'axe des x avec le cercle ayant pour équation

On peut toujours construire ce cercle et, par suite, la question est ramenée à l'intersection d'une droite et d'un cercle.

Équation du troisième degré. — Supposons l'équation donnée sous la

forme

x'^-^px-v-q=^o.

Première méthode. — Les racines réelles de l'équation précédente sont les abscisses des points réels communs à la parabole cubique et à la droite définies par les équations

y^^^x"^, y -{- px ->r q =^ o.

Deuxième méthode. — On peut chercher les points communs à la parabole du second degré et à l'hyperbole équilatère représentées par les équations

jK = ^-, xy -\- px -\- q =^ o.

Troisième méthode. — On considère d'abord l'équation

x'*-\- px"^ -H qx = o,

et l'on pose y — x"^, ce qui donne

y^ + py -{- q X =^ o.

On aurait ainsi à construire les points de rencontre de deux paraboles; mais les axes de ces deux paraboles étant rectangulaires, leurs points communs sont sur le cercle, ayant pour équation

x^-{-y^-\- (p — i)y -H qx = o.

On est donc ramené à l'intersection d'une parabole et d'un cercle; on ne conservera que les points communs autres que l'origine.

Équation du quatrième degré. — La méthode s'applique sans modification à l'équation

x'* -^ px--Jr qx -\- r = o;

il suffit alors de considérer le cercle ayant pour équation

On voit que c'est la même parabole du second degré qui sert dans tous les cas.

Il est facile de traiter le cas général. Soit donnée l'équation

x'*-\- nx^ -i- px--{- qx -\- r ^o.

Posons x"^ = y -\- ax, ce qui donne

jK- ^- (2 ^ -f- n) a7> -f- . . . = o;

on est conduit ainsi à prendre a = ; on a, en définitive, à trouver les

points communs à la parabole x^ = y a? et au cercle ayant pour équation

„ , /n3 pn n \ / n^ \

x^-^y^+{^^-l^-^--^qjx+{^p---.jy + r = o.

Si l'on pose z ^ a: -i- iy-, x ety étant des fonctions d'une variable indépendante t^ on peut dire que s est une fonction de ^5 en repré-

sentant par x''P\ y^P'> les dérivées d'ordre p de ce el de y par rapport à t, on peut poser

et dire que z^P^ est la dérivée d'ordre p de z, prise par rapport à t. D'autre part, si l'on trace dans un plan deux axes rectangulaires Ox, Oy, à toute valeur de z correspond un point M(x,y), et réciproquement; on sait que le point M se nomme Vaffixe de z. Nous dirons indifféremment le point z ou le point (^, j"). Rien n'empêche de dire aussi que le vecteur OM est la représentation de l'imaginaire z. Soient

-Si = ^1 -1- iyu ^2 = ^2 -H ï>2 ; et, par suite,

-Si — ^2 = (^1 — 072)4- i{y\—yi)-

Un vecteur ON, parallèle à M, M2, égal et de même sens, représente donc Zi^ — Sa ; on dit que deux vecteurs tels que ON et Mj M2, qui ont des longueurs égales et, en outre, sont parallèles et de même sens, sont êquipollents.

Cela étant, si Z\ correspond à une valeur t^ du paramètre et z^ à ^, + A^i, on peut dire que M, Ma =; A.OM,, et que le vecteur re-

présentant -7- est la limite de — — —

Dans la suite, nous poserons z^ = 0M| ; ce qui précède suffit à expliquer le sens de cette égalité, qui ne change pas, il convient de le remarquer, si l'on remplace OM, par un vecteur équipollent.

Cela étant, soit une courbe définie par les équations

nous pourrons représenter cette courbe par une seule équation

pour abréger, nous poserons

Rappelons que si

z = p(cosa) -h îsinco), Zi = pi(cosu)i -+- j sincoi),

on a

^^1 = ppi[cos(aj + loi) + i sin(a) 4- wj)] ;

d'après cela, si z= OM, z, := OM,, nous dirons que le vecteur ON,

dont la longueur a pour mesure le produit des mesures des longueurs OM, 0\I| (une longueur donnée étant prise pour unité) et qui fait avec O^ un angle égal à w + w,, est le produit des deux vecteurs OM, OMi, et nous écrirons

ON = ÔM xÔM^ = OMlx ÔM.

Le produit X.OM, \ étant un nombre réel, représente un vecteur ayant même argument que OM, .

Remarquons encore que, pour faire tourner un vecteur quelconque d'un angle a autour de son origine, il suffît de le multiplier par cosa + isina; en particulier, i.OM. représente un vecteur ON dont la longueur est la même que celle de OM et qui fait, avec OM, un angle égal à + - •

Par suite, ^ := F(^) et 5 = \¥[t) représentent deux courbes homothé tiques, en supposant toujours X réel.

Si \ est imaginaire, la seconde équation représente une homothétique de la première courbe ayant subi une rotation d'un angle déterminé autour de l'origine.

Si ZZ\ ^ a-+- bi et si z ^ F(^), la courbe décrite par le point Zs s'obtient en faisant tourner, d'un angle déterminé autour de l'origine, l'inverse de la courbe symétrique par rapport à l'axe des x de la courbe décrite par le point z.

Equation de la ligne droite. — Soient OA = «, OB = b deux vecteurs (a et b étant de la forme a, -\- a^i, bi -+- b^i, où «,, «oj ^i ? bi désignent des longueurs réelles) 5 la droite menée par A et parallèle à OB a pour équatiou

\ pouvant prendre toutes les valeurs réelles. Pour bien préciser le sens de cette équation, remarquons qu'on peut l'écrire ainsi