X -\- iy z= ai+ ia2-\- X(Ôi-h ib^), d'où
X = ai-hlbi, y = a^-hlbi]
on reconnaît l'expression des coordonnées d'un point quelconque d'une droite.
La droite menée par le point A et faisant un angle a avec la pre-
mière, a pour équation
z = a -f- X 6 (cosa + i sina),
et, SI a = H — >
z = a -[-\bi.
Équations de quelques courbes. — i° L'équation d'un cercle est
de la forme
3 = a -t- R (cos^ -+- t sinf), •
t variant de ^o à ^0+ stt.
1° Soient a, b, c trois vecteurs quelconques,
z = c -\- a cos t -\- b ûnt
est l'équation d'une ellipse ajant son centre au point c, et dont les deux vecteurs, menés par ce point et respectivement équipollents k a ei b, représentent géométriquement en grandeurs et directions deux diamètres conjugués. La -vérification se fait comme plus haut. 3° L'équation
z = «(cos^ -h is'int) -+- b {cos nt -+■ i sinnt)
représente une épicjcloïde.
Pour abréger, on écrit souvent ac au lieu de «(cos^ H-isin?); l'équation précédente devient ainsi
z = at-h bac-
Soit z = F(t) l'équation d'une courbe ; nous avons posé
z' = x' -h iy' .
On voit que le module de z\ c'est-à-dire \Jx''^-\-y''^ est égal à -j et son argument est défini par les équations
d'où
l'angle a est donc l'angle que la tangente au point s fait avec Ox.
On a de même
^' = x"+iy"\
cosa sina
dx cosa = —T-, as
sina =
dy.
ds'
si la variable indépendante est le temps, on voit que z' représente la vitesse, z" l'accélération, etc.
Si l'on pose ^ = p (cos co + « sin w) et si l'on prend iù pour variable indépendante, on a
dz .....
j— = p (cosw 4- i sinio) -t- p( — smoj -1- i cosw)
dm on en déduit
L'argument de -^ est donné par la formule
dia
, . tansr w -+- — , p sinw -4- p cosfo " 0 . ,,
tanga = S *--^ — — !— = tang(a) -)- V),
p cosw — psino) p " ^ '
' I — tango) — ,
OÙ l'on a posé tangV= -, • On voit que V est l'angle que la tan-
P gente fait avec le rajon vecteur.
Equation de la tangente, de la normale. — Soit M un point quelconque d'une courbe; posons ^ = OM, et représentons par Z le z d'un point quelconque T de la tangente. Un vecteur égal à 5' a même direction que la tangente en M; donc on a
Il en résulte immédiatement que la normale en M a pour équation
Z = .3 -i- X iz' ,
\ étant un paramètre qui peut prendre toutes les valeurs réelles de
GO à + GO.
Plus généralement
Z = j -4- Xz'(cosa -H i sinrt)
représente une droite menée par M et faisant avec la tangente en M un angle égal à a.
Centre de courbure. — Considérons un point de l'ellipse définie par l'équation
z z= a cosf -I- ih sin /.
288 CHAP. XVII. — APPLICATION DES IMAGINAIRF.S A LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
La normale au point z a pour équation
Z = a(cos^ — Xt sin^) -t- ib(sint h- Xi cas t).
En désignant par /(t) le second membre de cette équation, on voit que le point commun à deux normales correspondant k t et k i -f- Ai est défini par les équations Z =/(f), Z =^f{t 4- Ai), donc
le centre de courbure est donc défini par l'équation /'(i) = o. Dans l'exemple précédent, on doit poser — a(sint -h licost) -+- ib(cost — Xisint) — aV isint — bX' cost = o,
X' étant la dérivée de X par rapport à t. L'équation précédente se décompose en deux
(bl — a) sint — bl' cost = o,
(b — aX) cost — aX' sin ^ = o.
On tire de ces équations
a^ sin'^ t -h b^- cos^ f
ab
En remplaçant "k par cette valeur dans l'équation de la normale à
l'ellipse, on obtient
Z — — cos3 1 — i -r sin3 t.
Cette équation représente la développée de l'ellipse. On retrouve les coordonnées du centre de courbure
Ce qui précède suffit, nous le pensons, pour donner une idée de la méthode des équipollences imaginée par G. Bellavitis. Pour plus de détails, nous renverrons le lecteur au Traité de Hoiiel, Théorie des quantités complexes, ou au Livre de M. Laisant {Introduction à la méthode des quaternions; Paris, Gauthier-Yillars).
