LIGNE DROITE

SoHmiu. — ÉgHatioiu de la ligti» drotU. — Preblimf. — Exprutiotu divtnei du wilume d'un lidraèdre.

% I. ËQOATIOHS DE Li LIGNE DROITE.

9>. Toute l^oe de l'espace est déterminée de forme et de position par ses projections sur deux plans coordonnés. Lorsque cette ligne est une droite AB (fig. 13), ses projections sur les plans des xz el dea yx sont deux droites A'B', A"B" dont les équations seront de la forme

(■) '"ri"'

Comme ces équations ne renferment que deux coordonnées, on peut dire aussi qu'elles représentent deux surfaces cylindriques qui se rédui- "i- **sent i deux plans, t'un parallèle aux y et l'autre parallèle aux x : ce sont les plans qui projellenl la droite sur xz et sur yz. Ces plans déterminent complètement la droite, et les équations (i) seront celles d'une droite quelconque de l'espace, a, b,p, q étant quatre paramètres arbitraires.

Les équalions (i) conduisent aux égalités

C'est une autre manière d'écrire les équalions d'une droite; il suffit d'égaler les deux premiers rapports au dernier pour retrouver les équations précédentes, tandis qu'en égalant les deux premiers on aurait une

équation en x et y qui représenterait la projection de la droite sur le plan des xy.

%4. Cas particuliers, a) Lorsqu'une droite passe par l'origine, ses projections sur les plans coordonnés passent évidemment par le même point; il en résulte que les équations de la droite seront alors

x=saz^ y «SB 62; 00 bien

b) Si la droite est parallèle au plan des xy, les plans qui la projettent sur xz et yz se confondent, et les équations (i) se réduisent à une seule de la forme z » c, puisque tous les points de ce plan sont i une hauteur constante au-dessus du plan des xy. Pour que la droite soit complètement déterminée, il est nécessaire de considérer la troisième projection sur xy : les équations d'une droite parallèle à xy seront donc

z = c, y = mx-\-b; ou bien, sous une forme plus symétrique,

^ I y P * De même, les équations

définissent une droite parallèle au plan des xz et

une droite parallèle au plan des yz.

c) Enfin, si la droite de l'espace est parallèle à l'un des axes des coordonnées, par exemple, & l'axe des 2, sa projection sur yz se réduit & un point, tandis que ses projections sur les autres plans coordonnés seront des droites parrallèles à l'axe des x; donc, dans, ce cas, la droite sera définie par des équations de In forme

Scmblablement, les équations

déterminent une droite parallèle k l'axe des y, et

une droite parallèle & l'axe des z.

En particulier, les équations

x = o, y = o, représentent respectivement l'axe des x, des y et des z.

95. TVa^es d^une droite. On appelle traces d'une droite les points où elle rencontre les plans coordonnés. On les détermine en égalant à zéro, dans les équations de la droite, la coordonnée qui n'appartient pas au plan que l'on considère. Posons d'abord z = o dans les équations

on aura x = pjy=»q pour les coordonnées de la trace sur le plan des xy. En posant successivement y = o et x =3 o, on trouvera pour les traces de la droite sur les autres plans coordonnés

p aq — bp

96. Signification des constantes. Les constantes p et 9 dans les équations d'une droite déterminent le point où elle rencontre le plan des xy; elles n'ont aucune influence sur sa direction. Afin de mettre en évidence la signification des paramètres a et 6 des équations (i), menons par l'origine une droite parallèle à la première ; ses équations seront

(2) x = az, y^bz;

car, si deux droites sont parallèles dans l'espace, les plans projetants ainsi que les projections sur un même plan des coordonnées sont parallèles, et les constantes a et 6 doivent être les mêmes dans les équations (i) et (9). Prenons sur la droite passant par l'origine une longueur OM »3 1, et

projetODs-la sur les axes. Les coordonnées du point M seront x => / cos a y £=rs / cos |3, z = leosy, a^ ^,y sont les angles de la droite avec les trois axes rectangulaires. En substituant ces valeurs dans les équations (2), on trouve

cos a cosy

cos|3

cos

d'où l'on tire les égalités

cos a cos |3 cos y |/ cos'a + cos*|3 + cos'y i

Ainsi, les constantes a et 6 dépendent des cosinus des angles que la droite fait avec les axes; on voit que ces cosinus sont proportionnels aux quantités a, 69 1 ; leurs valeurs sont déterminées par les équations (R). On les appelle eosinus directeurs de la droite. Lorsque les axes sont obliques, les coordonnées du point M satisfont aux égalités (N^ 5).

a; -f" .V cos V + « cos iut x cos v -}- y -|- ^ ^^^ ^ ^ <50S f* +.7 cos > -|- z cos a cos |â cos y

En remplaçant x et y par az et 6z, il viendra

a + 6 cos V -|- cos fi a cos v -^ 6 -f- cos A a cos fx -f- ^ cos i + r