COS V

cos a cos p

En y ajoutant la relation

ly cos V, COSfJl,

cos a

cos V, I , COS A,

cos|3

COS fx, cos ^f 1 ,

cos y

COS a, cosjSy cosy.

on pourra trouver les valeurs de cos a, cos |3, cos y.

117. Droite passant par un point donné. Lorsqu'une droite de l'espace définie par les équations

X =iaZ'\-py y == 6z + gr

est assujettie à satisfaire à une condition géométrique, on aura en général deux équations entre les paramètres a, 6, p, ç, et, par suite, deux conditions suffiront pour les déterminer complètement. Si elle est assujettie à passer par un point donné M (x', y', s'), on doit avoir les relations

dont on peut profiter pour éliminer deux paramètres; on y parvient immédiatement en retranchant les équations membre à membre; ce qui

donne

(3) X — x'==a(jB — z'), y— y = 6(«-«'); ou bien,

Ces équations qui ne renferment plus que deux paramètres a et 6 définissent toutes les droites passant par le point M (x'y'z').

Les quantités a, 6 i étant proportionnelles aux cosinus des angles de la droite avec trois axes rectangulaires, les équations d*une droite issue d'un point donné et faisant avec les axes les angles a,/3, y peuvent s'écrire

^ cos a cos p cos y

Si on désigne par p la distance comptée sur la droite i partir du point M {x'y'z') & un autre point variable P (x, y, z) de cette droite^ on peut égaler chacun des rapports à p; car, on a

X'-'X' ^y—y'^z-^z' ^l/(x^xy^{y-^yr-\-(z^^* ^ ^ cos a cosP cosy |/cos« a + cos« p + cos» y

Les coordonnées d'un point quelconque de la droite pourront s'exprimer de la manière suivante :

(4) X = x' -|- p cos a, y = y' -|- p cos |3, « = z' -|- p cos y.

M. Dririte poisant par deux poinU donnés. Soient M(x'y'z'), M'(x''y''x'') les points donnés. Toute droite issue du point M est renfermée danâ

réquation

Si elle passe par le point M', les coordonnées x'', y", 2'' doivent vérifier ces égalités; ce qui donne

tt 6 I .

En divisant ces équations membre à membre pour éliminer les quantités a et 6, on trouve

ou bien, sous la forme ordinaire

Ces équations représentent la droite qui passe par les points donnés. Il est bon de remarquer que les cosinus directeurs d'une droite qui passe par deux points sont proportionnels aux différences x'' — x\ y" — y' y

%%, Point et droite %maginaire$, A chaque système de valeurs réelles attribuées aux coordonnées x, y, z, correspond un point réel de l'espace. Par analogie, on dit qu'un point est imaginaire, si ses coordonnées sont de la forme

Deux points imaginaires sont conjugués^ lorsqu'ils sont définis par des coordonnées qui ne diffèrent que par le signe de (/ — i,

(MO X'=:a + a'j/=r7; y' = P + P'|/=^, z'=y + /|/=r7; (M") x" « a -^ a' /ITT, y"=|3 — p'/--X «" = y — /l/^T. Le milieu de ces points est réel, et ses coordonnées sont :

La droite qui passe par deux points imaginaires conjugués est aussi réelle; car, en vertu du numéro précédent, elle a pour équations

X — a — g^^/— ly — P--3^ l/— • i 2 — 7 — y'(/^r

Hf = îLz ê == ^ZI2 .

On dit qu'une droite est imaginaire^ lorsqu'elle est définie par deux équations de la forme

x=(a+a'|/irr)z-|-/)+p'|/— I, y=(6-|-6y— i)«-f7+qfy— I.

Ellei MOI vérifiées par les valeurs réelles des coordonnées qui satisfoot aux équations

X — ax — p^o, a'z-{-j/ = o,

y — fcj — ç =. o, b'z-^-q' = o.

Or, comme il n'y a que trois inconnues, ces égalités ne peuvent pas

être satisfaites en général par un même système de valeurs de x,y,x;

donc, il n'existe aucun point réel sur une droite imaginaire de l'espace,

il moins que l'on ail

car, dans ce cas, les deux dernières équations a'« + p'= o, i'z 4- o'= o se réduisent i une seule, et le point réel déterminé par le sysième précédent appartiendra h la droite imaginaire.

Deux droites imagÏDRires son! dites conjuguées, quand leurs équations sont de la forme

On verra plus tard que si deux droites imaginaires conjuguées se

rencontrent, leur point d'intersection est réel, ainsi que le plan qui

a. Édni ioaai un ptritlélipipède redangle [01230' i'3'3'), trouver lei <qottion ligDu qui Huaisstnt les différenls poinis de la figure, les longoenn de» arrtles ëttat a=:oi, /issoj, c=nxt'.

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