Con.dîtions pour que les équations
«.asr p = o, y— 6;» — ^ = 0, r» + «y+*=o» représentent les projections d*une même droite
6 — a aq — àp
ft. Condition pour que les équations
o-fflit — ny = o, 6 + iw— /a=o, c + /y — m» = o
représentent une même droite.
•. Les équations
6y -f es cap + a» ax-^'bif
représentent une droite passant par Torigine et peuvent se ramener à la forme
ax fty ez
• ». Soient / et p" les disUnces des deux points M (»'y'»'), N («"y"*") i l'origine ; la droite qui réunit ces points passe par Porigine, si on a
Car, la condition donnée revient à
(a'i 4. y'i + ,'t) (a,"i + y"« + z"*) - (»'»" + y'y" + ^'»")' = o. ou bien
on en déduit
•• Qae représente l'équation
(«■ + y* + «*) — (x COS a + y cos /8 + ar COS y)« = O?
Si on écrit
(«* + y* + -2?') (cos* a -f- ces* ^ + COS* y) — (« COS a + y cos ^-{-z COS y)* = O,
on pourra décomposer le premier membre sous la forme de trois carrés^ et on verra que l'équation proposée représente la droite
cos se cos /s cos y
•• Que signifient les équations se* = y^ = z* ? Elles déterminent les quatre droites
X=:Zf (2)
» = - jr, (3)
lé. La droite imaginaire
X = (2 4- 1/^) 3? + 3 — 2 \^^^, y = ( 1 4- 1/~) z + r — 2 V^-^ passe par le point réel (7, 3, 2).
«t. Les équations
déterminent des droites imaginaires qui passent par le point réel (p, 9, o). 19. Trouver les angles d'une droite avec les plans coordonnés.
R. 8in/ = — — 1 sinm= — * smn =
f. Trouver l'angle de deux droites données. Soient les équations de deux droites
Si on désigne par (a, |3, y), (a', |3', y') les angles qu'elles font avec trois axes rectangulaires, et par 9 celui qu'elles forment entre elleSi on a (N» 4)
COS 9 = COS or cos a' -j- cos (3 cos (3' -{- cos y cos '/•
D'un autre côté, les cosinus directeurs sont déterminés par les égalités
cos a cos P cos y i
cos oJ cos jS' cos / I
En combinaat ces équations pour éliminer les cosinus, on trouve
a«' + 66' + i cos9 = -
,/a« + 6«+i |/a'« + 6'« + 1 On en déduit facilement
|/(a — ay + (6 — 6')* + (o6' — 6a')*
sm 9 = = — = — 9
et, par suite,
,.„„ « + 1/(« - gQ» + (6 - 6')« + (Ob' - baf *""8"P = =^ aa' + bb' + i
Le signe db dans l'expression du cosinus et de la tangente se rapporte & Tangle aigu ou obtus des droites données. La condition de perpendicularité des deux droites sera
aa* + 66' + I = o,
puisque, dans ce cas, taug 9 = oo , et 9 as go<*. Deux droites ne se rencontrent pas généralement dans l'espace; la relation précédente exprime que, si on mène par un point de Pune des droites une parallèle i l'autre, l'angle ainsi obtenu sera droit. En supposant que a et 6 soient donnés et a*j b' inconnus^ on pourra trouver une infinité de valeurs pour ces quantités satisfaisant à la condition précédente; à toutes ces valeurs correspondent les droites en nombre illimité que Ton peut mener perpendiculairement à une droite par l'un de ses points.
Ex. i. Trouver le cosîdus de l'angle des droites
abc bc oc (ib
c) cos f = :t:
Bx. ». Trouver le lieu des perpendiculaires élevées au point ^ - , -, î ^ g^p ladroile \2 2 2 J
a b e' Les équations d'une droite qui passe par le point donné sont de la forme
gag — o ^ 2y — b 2Z'^c
a' "■ b' """T~' et la condition de perpendicularité est aa' + W + «/ = 0. L'éUmination de a\ 6' 1/ donne pour Téquation du lieu demandé
nubien «(««-«)+ *(ay-6) + c(2;»«c) = o,
On verra plus loin qu'elle représente un plan perpendieulaire i la droite.
Ex. s. Trouver les cosinus directeurs des bissectrices des angles de deux droites.
Menons, par l'origine, deux droites («',i8',/), (a",/8",/') parallèles aux droites données, et sur chacune d'elles prenons des longueurs OM et OM' égales à l'unité. Les coordonnées des points il et M' seront cos «', cos ^', cos / j cos a", cos /i", cos y". Les équaUons de la bissectrice de l'angle MOM' seront
cos a' 4- cos «" ■" cos /S' + cos i8" ~ cos y' + cos y" '
Les cosinus des bissectrices des droites données seront déterminés par les formules
cos g cos /S cos y I
cos a' + cos a" ~ cos^' +C08â" ~ cos y' + cos y" "^ 9 '
2ieos-
COS g cos /S cos y I
cos «' — cos «" ~ cos ê' — cos â" "^ cos / — cos /' ^ 9 '
' asin-^ r est l'angle des droites.
91. Trouver la condition pour que deux droites soient dans un même plan.
Deux droites étant définies par un système de quatre équations de la forme
ix = az+pj [x = a'z + p', fy=bz + q, \y = b'z 4- ç',
elles ne se rencontrent pas dans l'espace, à moins qu'il n'y ait une relation entre les constantes telle que les équations précédentes ne forment plus que trois équations distinctes; celles-ci étant résolues par rapport k ^9 y» ^9 donneront les coordonnées d'un point commun aux deux droites. £n retranchant les équations membre à membre, il vient
On en déduit deux valeurs pour la coordonnée z qui devront être égales, si les droites ont un point d'intersection. Il en résulte que l'équation
ou
(p-p0(fc-6')-(«-a')<9~7') = o
exprime que les droites se rencontrent. Gomme elle est satisfaite si a =3 a', 6 = 6% c'est-à-dire, si les droites données sont parallèles, c'est la condition générale pour que deux droites soient dans un même plan.
Ex. 1. Les droites
x + aar — 4 = 0, y + 3^ — 3 = 0. se coupent dans le plan des xy au point (« = 4, y =: 3).
Ex. 9. Les droites
se rencontrent au point
Ex.
Condition de rencontre des droites
Même calcul pour les droites
Ex. B. Le lieu des milieux des droites parallèles à un plan donné et rencontrant deux droites fixes est une ligne droite.
Prenons le plan donne pour le plan des sy et Tune des droites fixes pour ue des jr| soient
les équations de la seconde droite fixe* Une droite parallèle à «y qui rencontre les droites fixes aura des équations de la forme
jzr = a, y = /Sas avec la condition
|S (aa. + p) = 6a + 9'
Les coordonnées des points d'intersection de cette droite avec les droites fixe9 étant
X =zOf y = O) 2r =: a,
xs=aoL-\-p, y=zbx-{-qf z:=oi^
celles du milieu de ces points seront
aoi-\-p 6oc -f- 9
£n éliminant a, on trouve que les coordonnées du milieu de la droite satisfont aux équations
2x — az —p=zo, 2y — 6z — ç = o.
St. Trouver les équations d^une droite passant par un point M (x' y' z') et qui rencontre les droites données
x = uz + Pj lx = o'jj+p',
y = bz + q; (y = 6'« + g'.
Soient
x = Az + P, y = Bz-\-Q
les équations de la droite cherchée. Les différentes constantes seront déterminées par les équations
x'=Az' + P, y=Bz' + Q,
Les deux premières donnent
et, par suite, les deux autres deviennent
x' — Az'^p y' -^Bz' — q x' — Az'^p' y' — Bz^ — q' ^ A — a B^^=^^ ' X^^' B— 6' '
et, en faiBant les rédoetions,
A(y'~6z' — ^)-B(«'-az'-p)-a(y'~g) + 6(x'— ;>) = o, À (y' — 6V — q') — B(x' — a'«' - p') — a' (y' — q') + b\x' — p') = o.
Di^signons par /, m et n les valeurs des premiers membres des équations des projections de la première droite pour les coordonnées x', y^ z\ e'est-à-dire, posons
l = y' — bzf — ç, m = x' — ax' — p, n = 6 (x' — p) — a (y' — q).
En appelant l'j m', n\ les expressions analogues pour la seconde droite, les équations précédentes donneront les égalités
iwi' — fim' In' — ni' Im' — ml'
Les équations de la droite cherchée peuvent se mettre sous la forme
mn' — nm' In' — ni' Im' — ml'
Ex. fl. Droite issue deTorigine et s'appuyant sur les droites
xs=:az-^p. lx = a'z-\-p*,
V = àz + p, {y = l/z + q'^
P {f^y - «'g') - p' (ôp — «/ ) q (by - a'g') - q' (bp - aq) qp? - pq' Ex. 9. Droite issue de Torigine et rencontrant les droites
« y « oo' 6a' oc
Ex. S. Trouver I*équation d*UQe droite qui rencontre les droites
et qui est parallèle à une troisième droite, z=:^at-\-p^ y^s^ht-Yq, La droite cherchée a des équations de la forme
a = eu 4- P, y =5 /i-j + Q avec les conditions
P{6 6')-Q{a-B')-p'(6-fi') + î'(o-«') = 0, P(6 6")Q{«„")p"(6 t") + ,"(,a")=o.
BoputDt
t. = -p'{6-6') + ,'(a-a'), »,=|," (6- 6") + 5"(a-< le* éqmtiaat de li droite peuvent l'toire
*.t-- a") -*.(»-"') *.(ù-ft")-M*-ft') (6-6')(a-o")— (6-6"j(o-a')
U, En général, on peut mener deux droites qui rencontrtnt quatre rfroitei de /'espace non situées deux d deux dans un même plan.
Soient (fig. tS) tfi, di, di (rois droites données; menons pnr chacune d'elles deux plans respectivement parallèles aux deux autres; les sis plans ainsi obtenus formeront un parallélipipède dont trois arêtes seront dirigées suivant les droites d,, di, d). Plaçons l'origine an centre du parallélipipède et prenons des axes parallèles aux arêtes. Bo reprëseotanl par 2ai, 261, 2C, leslongueurs desarétes, les droites doantSes auront ng. u.
pour équations
w = 6), xs=a,, x = Ci,
z = — cti y = — 61; x = ~a,.
Enfla, soient
(dt) X = 01 + p, y = 6z 4- 9
les équations de la quatrième droite fixe. On peut toujours reprèscaler par
X = Ai + P, y = Bz + Q la droite inconnue. Les équations qui expriment qu'elle rencontre les précédentes seront :
(«) 6, = -Bc,+<ï,
(7) -.,-Ac, + P,
— M — Les égalités (a) et (y) donnent
p 0-^« A P + ai
Ci Cl
Substituons ces valeurs dansjes deux autres, il viendra après quelques simplilBcations
(e) PQ + a,6, = o,
(P-p)[Q-6i-6c*] + (Q — 9)[P + «^ + a<^0 = o• £n développant cette dernière égalité, et remplaçant PQ par — ai6i, elle devient
(fx) P(6i-f6ci+9)+Q(p— ai— aci)+20i6i+g(ai+aci)— p(6,4-6ci)=o.
Les équations (e) et (fx) étant résolues par rapport i P et Q donneront deux valeurs pour ces inconnues, et, par suite, il existera en général deux droites qui rencontrent les quatre droites données.
Si on considère seulement les trois droites di, eis, dj, il y aura une infinité de droites jouissant de la propriété de s'appuyer sur chacune d'elles; elles correspondent aux valeurs de P et de Q qui satisfont à réquation
(g) PQ + a,6i=o.
Le lieu de toutes ces droites sera une certaine surface dont l'équation s'obtiendra en éliminant P et Q entre la relation précédente et les égalités
x = Az + P y = Bz + Q qu'on peut écrire, en substituant à A et fi leurs valeurs,
On en tire
^ aiz + Cix biz + Ciff^ y = y y = ■ ,
Z — Ci « + Ci
si on remplace ensuite dans (e) P et Q par ces valeurs» on trouve pour l'équation du lieu de toutes les droites qui rencontrent les trois autres
{oiZ + Cix) (6iZ + cty) = ttibi {z — Ci) {z + Ci), ou bien
aiyz + biXz + cixy + ai6iCi = o.
Nous verrons plus tard qu'elle représente une surface du second ordre appelée hyperbolotde à une nappe.
Les équations
Ci ^ Ci '
avec la condition PQ -{- ai6i s= o» représenteraient un système de droites issues de l'origine et respectivement parallèles aux droites qui rencontrent les lignes di^ dt, ds. Pour obtenir le lieu de ce second système, il faut éliminer P et Q entre les équations précédentes; ce qui donne
{CiX -1- Oiz) (ciy + biz) = aiôizS ou bien,
a\yz -{- hixz + dxy = o,
cette équation représente une surface conique ayant pour sommet l'origine.
S4. Trouver les équations de la perpendiculaire abaissée d'un point M (x', y' y z') sur une droite donnée, ainsi que l'expression de la longueur de cette perpendiculaire.
Soient
X — az — p = o, y — bz — 7 = 0, 6 (jr — p) — a(y — q) = o
les trois projections de la droite donnée. La perpendiculaire devant passer par le point M aura des équations de la forme
En exprimant qu'elle doit rencontrer la droite donnée, on obtient la relation
oii bien
a' (y' — 6^' — ç) - 6' (x' — az' — p) -j- 6 (x' — p) — a (y' — 9) = o. De plus, la condition de perpendicularité des droites est
ao'-|-66'-|- 1=0.
Posons
/ = y' -— 6jç' 9, m «s x' — az' ^p^ n^=^b{x' '■^p) — a (y' — q) ;
il Tiendra pour déterminer a' et 6' les équations
o7 — Wm -[- n = o, aa' -|- 66' + 1 a=s o.
On en tire
— (m -f- hn) an — / 1)1 + am Les équations de la perpendiculaire seront done de la forme
— (m -j- bn) an — / 6/ -f- am
Afin de déterminer la longueur de la perpendiculaire^ écrivons les équations de la droite donnée sous la forme
X — x' — a{z — «') = ax' -f- P — ^'»
Les coordonnées du pied de la perpendiculaire doivent satisfaire à ces égalités. De plus, en vertu des équations de cette droite, on a
^ — ^' ^y— y'^ g — g' ^ o(g — xO+fc(y — yO + g — g' .
— (m + 6n) an — l bl + am — o(m+6n)-|-6(an — /)-i-6/+am'
comme le dénominateur de la dernière fraction est nul, il faut que Ton ait aussi
a(x-ar') + 6(y -y') + t — z' = o.
Si on ajoute les quatre équations précédentes après les avoir élevées au carré, les doubles produits des dijfférences x — x\y — y'^ z — z' disparaissent et il vient
[(x - x')» + (y - y ')« + (z - zj] (i + a« + 6«) = (az' + p - x')« + (62' + ç - y')« + [6 (X' - p) - a (y' ^ 9)1».
Mais, en désignant par tt la distance cherchée, on sait que
TT = /(X -^ x')« + (y - yj + (z - zj
ou X, y, z sont les coordonnées du pied de la perpendiculaire. L'équation précédente nous donne immédiatement la valeur de tt;
ce sera :
__ l/(x' ^ az' - fY + (y - bz' ^ qY + [6 (x^ ^ p) -^ g (y- - y)]«
Il est utile de remarquer que la quantité sons le radical du nnmératetnr est la somme des carrés des premiers membres des équations de la droite donnée, où x, y, z sont remplacés par les coordonnées du point M.
£z. t. Oîstance de TorigiDe à la droite %^at — p = o, y — 6;? — 9 = 0.
Ex. t. Distance des deux droites parallèles.
« = az-f-p» l« = o«+p'i
yz=hz-\'q\ ( y = 6;r + ç'.
Soient (a»', y', z') un point de la seconde droite; on aura les égalités
a/ — cu:'=p', y'— 6x'=ç', 6»' — oy' = Ap' — fl^'. La distance de ce point i la première droite sera
Cette expression est indépendante du point choisi sur la seconde droite, comme cela doit être.
SS. Trouver les équations de la perpendiculaire commune de deux droites données, ainsi que l'expression de la plus courte distance de ces droites.
Soient
y = 6z + qr, y = 6'z + 7',
les deux droites données. Désignons par {x\ y', z')^ (x", y", z'') les coordonnées inconnues où la droite cherchée rencontre (dt) et (c(«). Les équations de la perpendiculaire commune peuvent s'écrire
(D) x~x' = A(«-z'), y-y' = B(z — z') ou bien, en observant que x' = az' + p> y' = 6*' + 7>
(D') x-p = Az + {a — A)«', y — y = Bz + (6 — B)2'.
Pour que la droite (D) soit perpendiculaire aux deux autres, il faut les conditions
Âa -f- B6 -|- I = o, Aa'-f B6' + i = o, d'où on tire
Posons pour abréger : /=ï 6 — 6', fn==a — a', n = ah' — 6a'. Il Tiendra
et les équations de la perpendiculaire commune peuvent se mettre sous la forme
n{x — p) — /z = {an — /) z', n (y — y) -{- w;e = (6n + »») ^'•
Il reste à déterminer la quantité inconnue z'. Or, les coordonnées x", y", z" doivent satisfaire aux équations (D'), et, par suite,
x" — p = A«" + (a — A) z', y" — </ = Bz" -{- (6 - B) ?'.
En remplaçant «" par aV +p', y" par 6V + ?'> et ordonnant les termes convenablement, les équations précédentes peuvent se ramener à la forme
(A ^ a) 2' — (A — tt') z" — (p — p') = o, (B — 6)z' — (B — 6')2" — (? — 9') = o.
On en déduit
(A-.a'){?~9')-(B~6') (P-pO (A-a) (9-9') -(B-6) (p-p')
(B-6)(A-a')-(B-6')(A-a)' et, en substituant à A et B leurs valeurs,
('-a'w)(7-7')+{m+6'fi)(p-p') (/-«n)((jf-qf')+(m+6n)(p-.p')
— 4ÎÎ —
En remplaçant z* par sa valeur, on trouve pour les équations de la perpendiculaire commune
(/i+,n«+n»)[;i(x-p}-/z]=(/-a«)[(p~p'){'H+6'fi)+(9-i/')(/-a'n)], (P+m«+n«)[«(y-</)-Hnz] (6n4-m)[(p-p'X»w+6'n)+(ï— çOC-û'»*)]-
Cherchons maintenant l'expression de la perpendiculaire commune. En la désignant par A, on a d*abord
A = i/(x" - x')« + (y" -y')« + (z" - z')\ Mais
x" — x' = A (z" — z% y" — y ' « B (z" — z% et, par suite,
A == (z" — z') |/i + A« + B«, ou bien,
Or, si on retranche membre à membre les équations qui déterminent z' et z", il vient
(an — dn) {q — ç') + (6'« — 6ii) (p — p') /« + m* + n«
D'où on tire
-» -> ^ [(« - «0 (g - <?') - (fr - 60 (p - PQ] n
Enfin^ en substituant cette valeur dans l'expression A, on obtient pour la plus courte distance entre les droites données
^ l/(a — ay + (t — 6')* + {^' — *«')' '
On peut donner à cette expression une autre forme en y introduisant les angles des droites avec les axes. Soient <x, |3, y et a\ P', y', les angles des droites données avec les trois axes rectangulaires; on sait que
cos a - cos 3 ^ cos a' , , cos S'
a = > 6== — -9 a' = ' ,7 6'==s — —ii
cos y cos y cos y cos y
pur suite, la valeur do A devient par la siibstitutioa
(p — p') (cos |3 C03 y' — C08 (3' C03 y) — (g — y') (co8 « coa y' — cos a' cos y) t''(co9 a cosy' — coB«'cosy)'+{co8 ^coBy' — co3p'co8y)'-(-(co8sccos|3' — cosa'cos|5)' et, en appelant 9 l'angle des deux droites, A = q: -: — [{p — p')(cosPco9y' — cos/3'cosy) — (q —9') (cos acosy' — cosa' COS y}],
ou encore, sous la forme d'ua dëterminaDt,
-p', î — î'. o is X, cos j3, cos y is a', cos p', cos y
% a. ESPEESSIONS DITBRSBS DD VOLDIB d'uH T^HIËDRE.
S«. On a souvent besoin de considërer un tétraèdre dans la géométrie k trois dimensions; c'est pour ce motif que nous allons faire connaître, dans ce paragraphe, plusieurs expressions du volume de ce solide. En premier lieu, nous nous proposerons de résoudre U question suivante : £(ant données les arêtes d'un tétraèdre qui aboutissent d un sommet ainsi que Us angles qu'elles forment entre elles, déterminer son volume.
Soit (yïjf. t6) un tétraèdre 1234; du, du, du les arêtes qui aboutisseot au sommet i ; X, f/L, v les angles 314, 214, 213. Le triangle 134 a pour surface
- d»di4 gin A.
Du poiDt 2 abaissons la perpendiculaire 2P sur la face 134; on aura, en désignant par V le volume du tétraèdre,
6V=-dnd,iSinl- 2P.
Hais, si on mène 2II perpendiculaire au cité 14, et si on joint
les points H et P, l'angle 2HP mesure l'inclinaison des faces qui
passent par l'aréte 14; représentons cette angle par 9; on aura
2P = 2H sin 9 = du sin /x sin 9; par suite,
6V sa dit dis du sin A sin fx • sin 9.
Afin de déterminer Tangle 9, imaginons une sphère ayant pour centre le point I ayec un rayon égal à l'unité; les faces relatives à ce sommet vont rencontrer la sphère suivant un triangle sphérique dans lequel on aura
cos V =s cos A cos f« -|- sin A sin /m cos 9.
On en déduit
. . . (cosv — cos A cos u)^
sin* 9 a= 1 — cos' 9=1 — -^ . . ^ . , — -^ 9
^ ^ sm* A sin* f*
ou bien, en développant,
I — cos* A — cos* a — cos' V + 2 cos A cos u cos V
sin* 9 = . ,. . , =- •
^ sin* A sm* (x
En substituant plus haut cette valeur, il vient pour le volume cherché
(i) 6V = ditdi5du|/i — cos*A — cos'/ji — cos*v-{-2cosAcosfjicosv.
On peut encore donner une autre forme au second membre, en remarquant que la quantité sous le radical est égale à
sin*Asin*/:A — (cosv — cos Acosfx)*=(sinAsin|(x-|- cosv — cosAcos/i)
(sinAsinfA — cosv-f-cosAcosp) = [cosv — cos(A+|x)] [cos(A — p) — cosv]
. A + a + v . A-j-u — V . A + v — a . fx^-v — A
= 4sin — *^ — sm — —^ sin — • î-sin — = ;
en posant 2p e= A + f^ + ^9 ^^^^^ expression se réduit k
4 sin p sin (p — A) sin (p — (x) sin (p — v). Il en résulte que l'équation (i) peut s'écrire
3V = di«diftdu|/sin p sin (p — A) sin (p — fx) sin (p — v).
11 est important de remarquer qu'en prenant sur les arêtes du sommet I trois points nouveaux 2', 3^ 4% on obtiendra un second tétraèdre équivalent au premier, pourvu que Ton ait ditdiidu = d^i,d^^,dur
S7. Trouver l* expression du volume d'un tétraèdre en fonction de ses arêtes,
DésigQons par d%s, du, ds^ les cAtés du triangle 234 {fig. 16) : il viendra pour les cosinus des angles A, fi, v les expressions
cos
X— 1L-L li »i, cosa= , , —y cosv= \, \ ^•
2ai50|4 2rf,4rf^4 ad^jd^j
Substituons ces valeurs dans Tëquation (i) élevée au carré; on aura
36V» = i[4rfî,rfî,rfh-(dî,+rfî*-rfî,)MÎ,(dî,+dî,-dîJ*rfî,
-(<'î.-K.-''h)*<iÎ4-Hrfî,-MÎ4-rfî*)(«<î,-Hî.-dîJW,+rfî.-dî.)]-
En développant, cette équation peut se ramener à la forme
{2)-tHy*^dl,{dU-dU){dU~dU)+dl,(d*,-d\)idU-dU) +dU(dU-dU)(d[,-d*,)-^d\dl,{dU-dU-dU)+dUdl
iài.-<n,-du)-{-d],di,(du-d\,-d\,)+di,d\,di,.
C'est l'expression qui donne le volume V en fonction des arêtes*
SS. On peut exprimer le volume d'un tétraèdre en fonction des arêtes sous la forme d'un déterminant que nous allons faire connaître. L'équation (i) élevée au carré peut s'écrire
36V* = dj ,dj ,d J I I cos V cos fx
cos y I cos X
cos II cos A I
en remplaçant les cosinus par leurs valeurs, on aura le déterminant
^ Lrf« ,1* d« 4-d' — d'
d\,'\rdl-dl
Si on multiplie respectivement chaque colonne et chaque ligne
par dit, dttt du, il vient
36V = dî, + dî, d\ + i*,-dU d\,-\-d\,-di,
di,-\-d\,-di, dU + dU dU + d\-dl,
d^.. + rfî« - «^î« «fii+^LlziL, '^î« + <^.
On en déduit 288V« = I dî, + dî„ dî. + rfî. - «*î.. «iî, 4- rfî* - dU
rfî* + «Jî. - «^.4. à\,-\-d\,-d\„ dî, + dî, on bien 288V* =
-dU, d\+di„ dî,+dî,-rfî„ dî.+dî,-dÎ4
-dî., à\,-\-d\,-dU, dî.+rfî,. dî.+rfh-rfj.
-dî.. dî.+dî.-d^, dî.+dî*-dÎ4. dÎ4+dî*
-dî.. dj,. dî,-dîv dÎ4-dÎ4 -dλ. dî.-dî„ dÎ5. dÎ4-dΫ
-dî*. dî.-dj*. dî,-dÎ4. d».
0, — dî„ —d\tt —d'u
-dî.. -dî., -dî«
o, — dî„ dî,i d»,— dî„ dî«— dîi o, -dî„ dî,-dî,. d»., dî*-dÎ4 o, -d\,, dî.-^q», dî,-dÎ4. d»,
0 -dU -dî, -dîi I I = - -«Jîi o -dl,-d\,i -dj.-rfî. o -dî,i -d\,-dl,-dl, o I
I. —dU, o, — djj, — rfî« i>— dj,. —dU, o, —d\t ï. — <n*, — dî«, —dUt o o dî, dî» dU I
dîi o d», d\t I
dî. d»„ o dU i
dî. dî, dî, o I
Le dernier déterminant représente sous une forme symétrique la quantité 288V*.
S9. Trouver Vexpression du volume d*un tilraèdre en fonction des coordonnées des sommets.
Considérons d'abord un tétraèdre dont le sommet 4 est à Torigine d*un système d'axes rectangulaires, et dont la base 123 est parallèle au plan des xy. Soient (xi yiiSi), (xi yi zi), {xz y% Zi) les coordonnées des points I, 2, 3. Le triangle 123 se projette sur xy suivant toute sa grandeur, et l'expression de sa surface est
- [(««y» — *»y«) + («sy* — ^«yO + (««y» — ««yi)]-
Gomme la hauteur du tétraèdre est Z| = zt = zs, on peut écrire 6V = (xtj/s — Xsyt) zi + (xiyi — xiys) z, + (^<y« "~ *«y*) ^»-
Gela étant, prenons sur les arêtes les points i\ 2', 3' aux distances d'i, d'i, d\ de Torlgine; les points l' et 2' sont quelconques, mais le troisième doit être choisi de manière à satisfaire à Tégalité did%dz^=id\d\d\. Le volume du second tétraèdre est alors équivalent au premier; de plus, en désignant par (x'i y'i z'4), {x\ y't «S), (x's y't z\) les coordonnées des points i\ 2^ 3^ on a les relations
dz , . d» , rfs ;
^» = :jr^»» ys = Try»» «b=-77-«6.
Os us C( 8
En substituant, ces valeurs dans l'expression précédente et supprimant le facteur commun didtdz t» d\d\d'zy il viendra
6V = (x',y'5 - «'.y'O ^'1 + («'.y'i - x'.y',) «', + (x'iy't - x'.y'i) z'», ou bien
C'est l'expression du volume d'un tétraèdre dont un sommet est à l'origine, la base étant un triangle dont le plan n'est plus parallèle à xy.
Enfin, supposons un tétraèdre dans une position quelconque par rapport aux axes des coordonnées. Soient (x'y'«')> (*"y"«")» (x'"y'"«"')> («"y'^O, ses sommets. Transportons l'origine au point {x'^y^z'^) en conservant les axes parallèles à eux-mêmes. Le volume du tétraèdre sera donné par l'expression précédente où x'i y'ty etc., représentent les coor^ données des sommets par rapport aux axes nouveaux. Mais^ d'après les formules de la transformation des coordonnées, on doit avoir
Il s'ensuit que le volume du tétraèdre quelconque sera déterminé par l'équation
IT
En remarquant que le second membre est égal à ox' — x'^ y' — y'^ z' — z"
.nr
ox'"— x'^
jv
IT
.Vf
