IX

il viendra finalement

IX" y" z" X x'" y'" z'" IX'" y'" z'"

40. £e vo/ume d*un tétraèdre est égal au sixième du produit de deux arêtes opposées par le sinus de l'angle de ces arêtes et leur plus courte distance.

Nous avons trouvé précédemment pour la plus courte distance entre

les droites

(di)

x = az-{-py y=a6z + 9,

(rfO

TexpressioD

***^? cosa cosP cosy cosa' C08|3' cos/

Prenons sur la droite (di) un point (p'' f'' r'O i une distance /t de sa trace (p, 7, o) sur acy, sur la droite (A) un point (p'" ç"' r'") k une distance /t du point (p', 9' o). On aura les relations

p'' — p = U cos a, ç" — ç =r /, cos /3, r" = /i coa y ; p"'— p'= {, cos a', ç'"— g'= /i cos P', r'"= (1 cos y'.

Par la substitution des cosinus donnes par ces égalités dans l'expression de A, il Tiendra

sin (f II It

jt

%fff

d'où on tire en multipliant par U 1% sin 9, et ajoutant dans le déterminant la première ligne horizontale à la dernière»

A/4 /i sin 9 = p' — p, q' — y, o

Or, le second membre représente six fois le volume du tétraèdre qui a pour sommets les points (p,9»o), (p', 9', o),(p", ç", r"),(p"', 7"', r"'), et dans lequel /j et 1% sont deux arêtes opposées; donc l'expression

A/i II sin 9

représente le volume de ce tétraèdre. Cette propriété s'applique évidem« ment à un tétraèdre quelconque.