CHAPITRE III
SoMHiiu. — Équaticn 4u premùr degré en x,j/,x^ forwui diverm de t'éqnalion d'un ptan. — Prebtimt* tur U plan, — Problbnte enr la tigite droite et liptan.
% 1. ^DATION DD FBEaiBR DEGBti.
4 ■ . L'éqaation générale do premier degrë en x, y, z est de la Torme
(i) A« + By + Cî4-D = o.
Nous allons d'abord dëmoatrer qu'elle représente toujours un plan dont la position par rapport à un Bystème d'axes dépend des constanles arbitrâtres A, B, C, D. Nous savons déjà que, si une équation du premier degré renferme une ou deuz variables, elle représente un plan parallèle h I'ud des plans coordonnés ou à l'un des axes. Il nous re«le h considérer une équation à (rois variables.
Soit, en premier lieu, i déterminer la nature de la surface définie par l'équation
(3) Aï + By + Cz = o.
Elle est satisfaite par les coordonnées de l'origine; celle-ci est donc no point du lieu. Si on pose z = o, il vient
(OS) Ai 4- By = o, équation qui représente une droite OS dans le plan des xy et apparlenant k la surface. De même, la trace du lieu sur xz sera une certaine droite OR définie par l'équation
(OB) Aa: + Ci = o Ǥ. 17.
obtenue en posant y=^o.
D'un autre côté, les points de l'espace dont les coordonnées satisfont à la fois aux équations
z = hj Ax 4" By + CA = o,
appartiennent à la surface cherchée. Or, ces deux équations simultanées représentent une ligne droite dans l'espace qui rencontre OR quel que soit A; car, ses traces sur xz ont pour coordonnées
zs=A, y = o, x = — —A:
valeurs qui satisfont à l'égalité (OR); de plus, cette droite est toujours parallèle k OS. Ainsi, le lieu représenté par l'équation (2) est la surface engendrée par une droite mobile qui rencontre constamment OR et qui reste parallèle & OS; c'est donc un plan passant par l'origine. Enfin, considérons l'équation complète du premier degré
Ax +By 4- C« + D = o,
et résolvons-la par rapport à z; on aura
tandis que l'équation (2) donnerait
En comparant ces équations, on voit que pour un même système de valeurs attribuées à x et y, les valeurs correspondantes de z ne diffèrent que d'une quantité constante; il s^ensuit que le lieu représenté par l'équation complète sera un plan parallèle à celui de l'équation (2). Ainsi, nous pouvons conclure que toute équation du premier degré représente un plan.
49. Réciproquement, tin plan quelconque est toujours représenté par une équation du premier degré. / «'
En effet, si le plan^est parallèle à l'un des plans coordonnés tous ses points sont k la même distance de ce plan, et son équation sera de la forme
x«=a, y ==6, ou z = c.
Si le plan est parallèle à l'un des axes, par exemple à Taxe des x, il rencontrera le plan des yz suivant une droite représentée par une
équation de la forme
By + Cz + D == o.
Comme les coordonnées y et z d'un point quelconque du plan sont les mêmes que celles de sa projection sur la droite, il s'ensuit que l'équation précédente représente le plan lui-même dans l'espace; car, elle est satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque de ce plan;
Si le plan passe par l'origine, il rencontrera le plan des xz et des xy suivant deux droites dont les équations sont de la forme
Ax + Cz = o, Ax4-% = o;
on peut considérer le plan comme engendré par une droite qui se meut en s'appuyant sur la première, et en restant parallèle à la seconde. Les équations d'une telle droite peuvent s'écrire
ZM=sh, Ax -f- By + * = o, avec la condition
— * + CA = o,
qui exprime qu'elle rencontre la droite située dans xz. En éliminant A et A; entre ces trois égalités, il vient pour Téquation du plan passant par Torigine
Ax -}- % + Cz = o.
Enfin, si le plan rencontre les axes, on pourra toujours lui mener par l'origine un plan parallèle et dont l'équation sera de la forme
Ax + By -|- Cl = o;
d'où on tire
Or, les valeurs de z pour les points des deux plans situés sur une parallèle à l*axe des z ne diJETèrent que d'une quantité constante; soit
— ;7 cette quantité : l'équation du plan donné sera de la forme
ou bien
Ax +;By + C« + D » o.
4S. Équation d'un plan qui rencontra les axtê aux dùlonws a, 6, e it Vorigine. Supposons que l'ëquatiou générale (i) Ax + Bs+Cï + D = o représente un plan qui reocootre les axes aux points A, B, C, de telle sorte que a»OA, b=iOB, c = OC. Si on exprime que les coordonnées de ces points salis- Tont à l'équntion, on aura les relations Att + D-=io, B64-D=o, Cc + D = o. On en déduit
fti-K a 0 «
En substituant dans l'équation générale, et en sapprimant le facteur commun D, on trouve
c'est une autre Terme de l'équation d'un plan dans laquelle les constanles a, b, e ont la gjgni&cation indiquée précédemment.
Lorsque, dans l'équation (i), les constantes A, B, C, sont nulles, les quantités a, b, c devicaDeDl infinies, el, par suite, le plan correspondant est transporté i l'infini. Il en résulte que l'équation
o- x-\-0'y-\-0'Z-\-D = o, ou D=«o, doit être interprétée comme représentant un plan à l'infini, indéterminé de situation.
44. Menons par l'origine (fig. 18) une droite OD, perpendiculaire au plan, et joignons le point D avec A, B,C; a, ^, }< étant les angles de la normale au plan avec les axes, on aura, en posant p <=3 OD, p =a a COB a =i: b cos P c= e cos ^.
On en déduit
GOS a C03 p COB }<
et, par suite, l'ëquation (3) peut s'écrire
(4) X cos a -{- y cos p -|- z cos ^ =1 p :
c'est une autre forme de Tëquation d'un plan; elle a lieu, comme la précédente^ pour des axes obliques ou rectangulaires. Les coeflBcients des variables sont les cosinus des angles de la perpendiculaire abaissée de Torigine sur le plan, et p est la longueur de cette perpendiculaire. Si Ton identifie les équations (4) et (i), il vient les égalités
cos a A cos |3 R cos y G
d'où
et
cos a cos P cos y i
Ainsi, quand un plan est représenté par Téquation (i), les cosinus directeurs de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur ce plan sont proportionnels aux coeflScients des variables x, y, z, et leurs valeurs seront déterminées par les équations (K); de plus, en divisant le
coefficient D par |/A* + B*-|-CS on obtient la longueur de cette perpendiculaire.
45. Plan imaginaire. Lorsque l'équation du premier degré renferme des constantes imaginaires et se présente sous la forme
on dit qu'elle représente un plan imaginaire. Un tel plan renferme toujours une droite réelle; car l'équation précédente peut s'écrire
ax + by -\' ez-{-d-{- (o'x + 6'y + c'z -|- cl') (/ — i = o,
et il est visible qu'elle est satisfaite par les coordonnées des points de la droite d'intersection des plans réels
a» 4* 'y 4" ^* "f" cl = o, a'x -{- Vy -|- c'z + d' =» o.
On dit que deux plans imaginaires sont conjugués^ si leurs équations sont de la forme
(a— o'j/Cr7)x+ (6 - 6'ï/^=T)y + (c — e'i/^^)z-\' d--d'|/--ï =^-
Gomme elles sont vérifiées en même temps par les points d'intersection des plans réels
ax 4" fty + c« + d = o, a'x -{- h'y + c'z + d' e= o, deux plans imaginaires conjugués se coupent suivant une droite réelle.
46. L'équation générale (i) étant divisée par D ne renferme que
ABC trois constantes arbitraires, les rapports t: ' «^ ' f^ > il ^^ ^^ ^'^
même des équations (3) et (4); car, dans celle-ci, les constantes sont liées
par la relation cos*a-l'COs'P4'C<>sV'™ '* Ainsi, l'équation d'un plan quelconque ne renferme que trois coefiScients indéterminés; trois conditions géométriques donnant lieu chacune à une relation entre les paramètres suffisent pour les déterminer, ainsi que le plan représenté par Péquation.
ExêrcieBê,
Ex. 1. Ramener les équations
a« — 3y — if = 6, « — 4y + ajf — 4 = o, 30? — ay — 4Jf = la
X y t i la fortne - 4- 7 + - = X.
336*4 î a '4^3* Ex. t. Distances à Torigine des plans de Pexemple précédent.
*• P = —;=:> P —--;=:» P —-7=. Kx4 Kax Ka9
Ex. s. Distances à Torigine des plans projetants de la droite
» — ojf — r = G, y — . 6jp — « = o, b(x — r) — a {y — ») = o.
kT+T« kT+l? |/fl?+^
fix. 4. Trouver l*ëquatîon de la surface engendrée par une droite qui toorne autour d*un point ûxb en s*appuyant constamment sur une droite donnée.
Prenons, pour plan des yjr, un plan passant par la droite donnée, et, pour axe des x, une droite passant par le point ûxt.
Les ëqaations de la droite fixe ei de la droite mobile seront de la forme
La condition de rencontre est
bcX -|- oc/A -f- abv = o,
et rëqaation de la surface s'obtient en éliminant >y /i, v ; on trouvera
bc (0 — a) 4- ocy -{• abz = o, ou
bc9 4- <^ + o&s — o^c = o.
Ex. ft. Trouver le lieu des points de Tespace k égale distance de deux points ûxes. Plaçons l'origine à Tun des points donnés; soient a, 6» 0 les coordonnées du second point, et 9j y, z^ celles d*un point du lieu ; on aura
ou bien
(UB + by + cz
Ex. •• Exprimer les coordonnées d*un point quelconque d*un plan au moyen des coordonnées de trois de ses poinU A (a/ y' z% B (x" y" z^% G K'' /'' z''').
Soit D le point qui divise la distance AB en deux segments dont le rapport est égal à I : m; ses coordonnées seront
to' + ffMB" ly' + fny'' Iz' + mz" x = — 5 y=: —- > « = r— •
En regardant / et m comme des constantes variables, ces formules déterminent les coordonnées d*un point quelconque de la droite AB. Joignons le point D au troisième point G, et divisons GD dans le rapport de n à l-h***; 1^ coordonnées du point de division seront
te' + m»" + fia?'" /y' + my" + ny'" W -f- mz" -f nz'" .
l-\'m-\-n /4-m4-fi l-^m + n
ce sont les coordonnées d'un point quelconque du plan, /, m, n étant des coefficients indéterminés.
