AA' + BB^ + CC
cos 9 = d=
|/A« -|- B« + C« /A" + B'« + C* On en déduit
|/(AB' — BA')« + (AC — CA')' + (BC — CB')* in (D = ^—2 — ^— ^ — —^ 9
sinf
i/(AB' — BA')' + (AC — CA')» + (BC — CB')" .
tanff © == ^—^ — î— ^ : — - — —^
* ^ AA' + BB' + ce
La condition nécessaire et suffisante pour que les plans soient perpendiculaires sera
AA' + BB' + ce = o.
Si les plans sont parallèles, on doit avoir tang 9 «=> o, et, par suite, les égalités
AB' — BA' = o, AC — CA' — o, BC — CB' = o,
ou bien
seront les conditions du parallélisme des plans donnés. Désignons par ^ la yaleur commune des rapports précédents : il viendra
A'=:*A, W = kB, a = kc, et l'équation du second plan peut s'écrire
A(A« + By + Cz) + ly = 0.
D' Enfin, en posant A = p- , l'équation
Ax + By + Cz-\'l = o
ou A est un paramètre arbitraire, représentera un plan quelconque parallèle au premier.
Bx. 1. Angles des plans
a) cos f = ±
6) m— as — p = 0, y — bz^q:=o.
ab
; 6) Gos f = ±
ah
Ex. •. Plan passant par le point (»%y'y z') et parallèle au plan Ajd -|~ By + Gir-f D =o
R. A(»— «') + B(y — y') + C(z — z') = o. Ex. s. Plan passant par Porigine, le point («' y' z^, et perpendiculaire à
a« + *lf + c« + <* = o.
n (kat éliminer A, B et G entre les équations
On trouTora
A»4-By + Car =
Aa/ H- By' + (!»' =
Aa + B6-HCc =
OU bieD,
(cy' — bg') « + ((u' — «»') y + (W — oy') « = o.
Ex. 4. Plan mène pur les points (9' y' z'), (x'^y" z*'\ perpendiculairement au plan
a» + 6y + C2: + rf = 0.
On a les conditions
A(aî"-»') + B(y"-y')H-C(«" — Aa+B6 + Cc = o.
L*équation demandée sera donc
« — »', y—/, * — ar'
4§. TVouver /'ë^uafion générale des flans que Von peut mener par Vtntersection des plans
Aa: + By + Cz + I> = o, A'x + B'y + C'« + D' = o.
Soit X un paramètre arbitraire : Téquation
(il) Ax + By + C« + D + 1 (A'x + B'y + Cz + D') = o
étant du premier degré, représente une infinité de plans; elle est satîslàite par les coordonnées d'un point quelconque de Tintersection des plans donnés, puisque pour ce point les deux polynômes du premier membre s'annulent. D'un autre côté, on ne peut plus assujettir un plan qui passe par une droite qu'à une seule condition : donc, l'équation précédente qui renferme un paramètre arbitraire représentera un plan quelconque passant par Tintersection des deux plans donnés.
On peut déduire immédiatement de l'égalité (k) les équations des projections, sur les plans coordonnés, de la droite d'intersection des plans donnés; il suffit d'attribuer à A une valeur qui annule successivement les coefficients des variables, c'est-à-dire,
Les équations des plans projetants ou des projections de l'intersection seront
(AB' — BA')y + (AC — CA') z + AD' — DA' = o, (AB' — BA') X + (CB' — BC) « + DB' — BD' = o, (AC - CA') X + (BC — CB') y + DC — CD' = o.
Ex. i . Que représente l*équfttion
am + bp -^-e — )s^=o?
Un système de plans qui passent par la droite du plan des »y :z=o, ax-^by-\-e=o* Ex, t. Plan passant par Torigine et rintersection de deux plans donnés
R. (AD' - DA') « + (BIV — OB') y + (CIV — DC) 2 = 0. Ex. S. Plan mené par Tintersection de deux autres et le point (x*, y', z'),
AtB + By + Cz + D A'.T + B'y + Cz + D'
A»' + By' + Cs' + D A'»' + Hy + C';ï' + D'
Ex. 4. Condition pour que deux plans se coupent suivant une parallèle au plan des «y.
On doit avoir
A — U' = o, B-.>B'=o; d'où -^ = |^-
Ex. ft. Plans menés par Pintersection de deux autres et respectivement perpendiculaires à chacun d'eux. On a ici les conditions
(A — U')A + (B — >B')R + (C — AC')C = o, (A - UO A' + (B — AB') B' + (C - XC) C = o.
On trouvera pour les plans cherchés
(A« -f By -f Ci^ -f D) (AA' -+- BB' + CC) = (A« + B« + C*) (A'» + B'y + Cz + D'), (A» + By + Cr 4- D) (A'« + B'* + C'« = (AA' -H BB' -J- CC'J (A'« + B'y + G'z + D').
Ex. •. Condition pour que les plans
0 *- ey — 6j = o, y — oar — c» = o, # — te — ay = o
passent par une mémo droite.
En identifiant les équations
x^ey'-^bz-\-X(y — a* — c») «s o, z — bx — aysso,
on trouve la condition
a* -4- 6* 4- e* -f aabe = i.
40. Trouver les coordonnées du point d'intersection des plans
Ax+By+Cz+D=o, A'aî+B'y+C'z+D'=o, A"x+B"y+C"«+D"=o.
Le point commun aux trois plans correspond aux coordonnées qui satisfont à la fois à ces équations : il suffit donc de les résoudre pour
obtenir les coordonaëes cherchées. Le dénominateur commun des valeurs des Xy t/y Zf est le déterminant
s*il est plus grand ou plus petit que zéro, le point d'intersection est situé à une distance finie; s'il est nul, le point commun aux plans est & l'infini : ce qui arrive, lorsque la droite d'intersection de deux plans est parallèle au troisième.
Désignons par L, M, N les premiers membres des équations données; il peut se faire que les plans passent par une même droite et qu'il y ait une infinité de points d'intersection. Dans ce cas, il est toujours possible de trouver trois constantes A, fx, v de manière à avoir l'identité
En effet, l'équation XL-f-i^M = o représente un système de plans qui passent par l'intersection de L et M; le troisième plan passant par la même droite est l'un des plans du système; par conséquent, on peut, par une détermination convenable de A et de fx, rendre le premier membre >.L -f- fxM identique à — vN, et, par suite, écrire l'identité précédente.
Réciproquement, si trois plans L^ao, Me=ao, N ^=^0 donnent lieu à la relation identique
AL + |uiM+vN=o,
ils passent par une même droite; car, les valeurs des coordonnées qui annulent L et M, doivent aussi satisfaire à l'équation N =» o, et le troisième plan doit renfermer la ligne d'Intersection des deux autres.
Ex. 1. Les plans
3» + 4y — i6j! = G, 5« — 8y + zos^ = o, a» — 6^+7» + 8 = 0
se coupent au point (4, 5, 2).
Ex. 9. Les plans
aoB-py — z = 5 — « + 3y + a;r = i, 3» + 5y = ïï
passent par une même droite.
On a l'identité
a(a« + y — « — 5) + (— « + 3y + a* — i)-(3» + 5y — ix)So
Ex. s. Que signiGe la relation
6(» — oar — pj — o(y — 6z - ?) — [6(» — p) — a(y — ç)] = o? Bile montre que les plans
• — aif— p=:o, y — 6af — ^=0, b(t passent par une même droite.
Ex. 4. On a trois plans qui se coupent en un point; par la droite d*inter8ection de deux d^entre eux, oo mène un plan perpendiculaire au troisième; prouver que les trois plans ainsi obtenus passent par une marne droite.
Les équations des plans sont de la forme
A«+By-HC«+D) (A' A"+B'B"-+.C'C") - (A'aH-B'y+C'^+D') (AA"+BB"+CC")=o, (A'y+B'y-|-C':ïr+D')(AA"+BB"+CC")-(A"ar+B"y+C":ï+D")(AA'+BB'4-CC') = o, (A''i»+B''y+C''«+I)'')(AA'+BB'+CC')--(A«+By-fC«+D)(A'A''+B'B''+C'C'')=o.
En ajoutant membre à membre, il vient o=so; donc, ces plans se rencontrent suivant une droite.
60. Chercher la eondùion pour que quatre plans donnés se coupent en un même point.
Soient
A a:+ By + Cz+ D = o, A'x + B'^ + Cz + D' = o, A"a: + B"y -f- C'z + D" = o, A'"x + B'"y + C'"z + D'" = o,
les équations de quatre plans. S'ils ont un point commun, on peut satisfaire aux égalités précédentes par un même système de valeurs des yariables x, y^ z; ce qui exige que le déterminant de ces équations soit nul. La condition demandée sera
Autrement, pour que les plans proposés passent par un même point, il faut et il suffit que Ton ait l'identité
XL + (xM + y N + ttP = o,
L, M, N, P, étant les premiers membres des équations données; car, les coordonnées du point d'intersection des plans L, M, N annulent ces
polynômesy et en vertu de la relation identique, elles devront aussi satisfaire à l'équation P=:o; les quatre plans ont donc un même point commun.
Réciproquement, si les quatre plans L, M, N, P passent par un même point, on pourra toujours trouver des constantes A, p, v, tt de manière à avoir l'identité précédente. En efiet, l'équation ÀL -{- fxM -{- ^N = o représente un système de plans qui ont en commun le point d'intersection des plans L, M, N; le plan P appartient à ce système, et, par suite la quantité /L-^fAM 4" vN pourra s'identifier avec le premier membre de l'équation P = o, c'est-à-dire qu'il existera une relation entre les polynômes L, M, P, Q, qui sera satisfaite quelles que soient les valeurs de X, y, z.
51. Trouver l'équation du plan qui pa8»e par trois pointa donnés
(^',y', sf')» (^'y" «"). (^"' y'" «"')•
Soit
Ax -(- By + Cz + D = o,
le plan cherché. On a les conditions
Ax' +By' +Cz' -|-D = o, Ax" + By" + Cz" + D == o, Ax'" + By'" + Cy'" + D = o .
On en déduit pour l'équation demandée
ou bien, en développant.
-hz
Le second membre de cette équation réprésente 6 fois le volume du tétraèdre ayant pour sommet Torigine et pour base le triangle des points
donnes. Soient (xi, yi, Zt) un point du plan de ce triangle; les quantités
représentent respectivement 6 fois les volumes des tétraèdres qui ont pour sommet commun le point (xi yi zi), et pour bases les projections du triangle des points donnés sur les plans coordonnés. L*équation du plan qui passe par trois points est donc l'expression du théorème suivant : Une pyramidcy qui a son sommet à Von'gine et pour base un triangle de l'espace^ est équivalente à trois pyramides qui ont un sommet commun dans ce triangle^ et pour bases les projections de ce dernier sur les plans coordonnés.
Ex. t. Plan passant par les points (o, b, e), (a, o, c), (a, b, o).
Ex. t. Plan qui passe par les points {a, 6, e), (a, 0, o); (o, 6, o).
a o e Ex. S. Plan mené par l'origine et les points («V^')i (^'y"»")»
R. 9 isf'z" — «y ') + y (» V — 9^z") + z (a/y" - y V) = o.
Sx. 4. Plan mené par les points Wy'z*)^ (m^'y^'z") et le point d'intersection des plans L = o, H = o, N = o.
Désignons par L'M'I*(\ L'^W^N" les valeurs des polynômes L, If, N pour les coordonnées des points donnés. L'équation demandée sera le résultat de l'élimination des paramètres entre les égalités
XL + iuiM + yN = 0,
c'est-à-dire
St. Trouver Veacpression de la dislance d'un point M (x' y' z') au plan Ax + By + Cz + D = o.
Nous savons déjà que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan est donnée par la formule
Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au point M; l'équation du plan par rapport à la nouvelle origine sera
A(a: + x') + B{y + yO + C(z + «0-hI> = o, ou bien
Aa;4-By + C«+Ax'-l-By' + C«' + D = o.
La dislance de Torigine & ce plan, c'est-à-dire, la distance cherchée^ aura pour expression
Ax' + By' + Cz' + D
On en déduit la règle suivante : La distance d'un point quelconque de f espace N (x^ y, z) au plan kx-\-^y-\'Cz-\'Ds=:^o 9" obtient en divisant
le premier membre de l'équation par |/A' + B* -|" C*-
Si le plan donné était représenté par une équation de la forme
X cos a -j-y cos j3 -j- « cos y — p = o,
Tapplication de la formule précédente donnerait
x'cosa-|-y'cosj34-«'cosy — p ^^cos* a + cos* (3 -f- cos* y ou bien
P s= d= (x' cos a + y' cos j3 -j- je' cos y — p).
Donc, le premier membre de l'équation x cos a -{- y cos |3 -}- ^ cos y — p sa o représente la distance d'un point quelconque N (x, y, z) de l*espace au plan qu'elle détermine.
LorsqueJe point donné est Torigine des coordonnées, x'=y'=az'=sOy et P se réduit à — p, en prenant le signe supérieur dans la formule
précédente. On peut regarder comme négative la perpendiculaire abaissée de Torigine sur le plan; il faudra attribuer le même signe aux perpendiculaires menées des points de l'espace qui se trouvent du même côté du plan que Torigine, puisque le polynôme x cos a-f-ycos/3-{-2cosv — p conserve le même signe dans cette région de l'espace; il ne peut s'annuler que si le point (x% y\ z') appartient au plan, et alors P = o; il devient ensuite positif, si le point passe de Tautre côté du plan.
OB y z Ex. t. Distance de TorigiDe au pltn - + t H — = 2.
a b 0 Zabc
|/6V + aV + a«6«
X y z Ex. t. Distance du point (o, o, c) au plan — h r ~* *= z*
Ex. 8. Distance des deux plans parallèles A»-\'By-\-Cz-^D=zOi\x-\-By-\-Cz-]-D'=:o, Lorsque le point {on', y', z') appartient au second plan parallèle au premier, ou a A»' + By' + C^' = — D'; la formule (P) devient
Ex. 4. Trouver les équations des plans bissecteurs de deux plans donnés. Soient
A» + By4-C;ï + D = o, A'x + B'y + C'z + iy=:o
les deux plans; les équations cherchées seront
Ax + By + Cz + ïi X'x + B'y + Cz + D' J/a« + B« + C« "" |/A'* + B'*-hC'«
Ag + By + Cg + D A'x + Wy + C'z-i-jy |/A« 4- B« + C« "" l/A'« + B'« + C'«
Elles expriment que les perpendiculaires abaissées d*un point du lieu sur les plans donnés sont égales et de même signe ou égales et de signes contraires. Si les plans donnés ont des équations de la forme
9B C08 a -j- y eos ^ -\- z eos y — p = o, « cos a ' + y «os ^' -J- a cos / — p = o,
Jes plans biiseeteura seront définis par
» eos ce -{-y cos /S -(- 2 eos y — p — (» cos «' + y cos /8' + « «>s y' — p') = o, • « eos a + y cos /9 -|- j cos y — p + (» cos «' + y cos /8' + » cos y' — p') = o.
H est facile de vérifier que ces plans sont perpendiculaires,
Ex. ft. Les plans bissecteurs d*un angle Irièdre pusent par une même droite. Les équations des trois plans bissecteurs peuvent s'écrire
L, M» N étant des polynômes de la forme « cos a -}- y cos /9 -|- ' cosy— >p, et Lso, M:=0| N=o les équations des faces du trièdre. En ajoutant membre à membre, on trouve o^o; donC| etc.
Ex. •. Distances à Torigine des plans bissecteurs de deux plans donnés.
R. -ï — —$ -^ — ^J s est l'angle des deux plans.
2 cos - 9 2 sm - f
Ex. y. Trouver^ en coordonnées obliques, la distance d'un point M («' y' z*) au plan A» + By + Ci + D = o.
Des égalités
p cos « cos /8 cos y
on tire
p' (i ^ cos*>)co8'a+(i — cos*/a)co8*/8+(i — cos*v)cos*y— a(cos> — C0SyC0S/ut)C0S/3C0Sy — ••-
D« (I— eos^>)A<-Kx-*cos*/tA)B*-f-(x — cos*v)C* — 2{cosX— cosvcos/uijBG— •
Le numérateur (N* S) est égal à
z — cos* X — cos* fi — cos* y 4- 2 cos > cos /A cos y; de sorte qu*en représentant par H le dénominateur, on aura
p = dt (X — cos* X — cos* fi — cos* y 4- 2 cos > cos fi cos y)* .
Par une transformation de coordonnées, on trouvera finalement pour la distance cherchée
Ajp' + By' + Cj8' + D 1
P =± — (l — cos* X — cos* u — cos* y 4- 2 cos > COS fi COfl y)*.
