III. PROBLÈMES SUR LE PLAN ET LA LIGNE DROITE
6S. Déterminer le point d*intersection d'une droite et d^un plan représentés par les équations
x = az+py y = 6^4- 7, Ax -|- By + Cz + D *= G,
Les coordonnées du point d'intersection sont les valeurs de x, y, z qui satisfont à la fois aux équations données. Pour les déterminer, éliminons a; et y : il viendra
A (ttz + p) + B (62 + qf)4- Cz + D = o; d*où
Ap + By + P
et^ par suite,
aJAp + B^+D) 6(Ap + By + D) , ^
^~~'Aa + B6 + C +''' î'"" Aa + B6 + C +*'
Lorsque le dénominateur Aa -f- B6 -|- G est nul, ces valeurs sont infinies; la condition nécessaire et suffisante pour que la droite soit parallèle au plan sera donc
(*) Aa + B6 + C = o.
Si l'on avait à la fois
(h) Aa + B6 + C = o, Ap + Bç + D = o,
le point d^intersection serait indéterminé; ce qui veut dire que la droite est située dans le plan, car chacun de ses points doit être regardé comme un point d'intersection du plan avec la droite.
On peut profiler des relations précédentes pour éliminer une ou deux constantes de l'équation du plan donné. De l'égalité (k) on tire, € = — (Aa-{-B6); par suite, l'équation du plan devient
Ax + By — (Aa + B6) « + D = o.
ou
elle définit un système de plans parallèles à la droite. Si, de plus, la droite est dans le plan, on a D = — (Ap -|- Bf ), et, par suite, l'équation précédente peut se mettre sous la forme
A (a — az — p) + ^ (y — ^* — ?) == o» ou bien, en posant ) = -7 i
X — ax — p + ^(y— t^ — y) = o:
ce sera Téquation générale des plans passant par la droite. Elle ne renferme plus qu'un paramètre arbitraire; ce qui doit être, puisqu'on ne peut plus assujetter le plan qu'à une seule condition.
£z, i. Intersection de la droite et da plan représentés par
a e oc
Ex. t. Lieu des droites menées par un point (e'y';s') parallèlement au plan A«H-By + Cjr + D = o.
En éliminant a et 6 entre les équations
» — »' = o(« — «0, y — y' = 6 (« — y), Aa + B6 + C = o. on trouve
A(«-»') + B(y — yO + CU-2') = o-
Ex. S. Plan mené par les points («'y';»')) (a" y" 2") et parallèle k la droite X — (u; ~ p = o, y — hz — 9 =: o.
9 — a«, y — Asr, i »' — a»', y' — bz' I x"^as'', y" — bz'\ I
Ex, J. Plan mené par un point (e'y' :t') parallèlement aux droites
0 y s Ex. ft. Plan mené ptr le point (sa'y'z') parallèlement à la droite - ^^ = - , et perpendiculaire au plan l» + my •\' nz -{- p = 0,
abc
S4. TVottver /'e^uafton rfu p&in 7 fit poMe par lin ;)0»nt et une droite donnés.
Nous avons montré, prëcëdemment, qu'un plan mené par une droite
est défini par Téquation
X — az — p + ^ (y — 6« — qf) s« o. Si x\ y% z' sont les coordonnées du point donné, on a la condition
x' — az' — p + i (y' — bz' — î) = o. L'élimination du paramètre A donne pour l'équation demandée
X — az — p y — bz — q x' ^ az* — p y' — 6z' — q
Ex. 1. Plan passant par le point (i, 2, ^ z) et la droite a« — jr -f- x = o, jy + a« — 2 = G.
Ex. •• Plan mené par Porigîne et la droite « — «ar — p s= o, y — &jr — ^ ;= o.
R. ç»— py + (6p — a9)jf^o.
Ex, s. Plans menés par les axes et le point (a, 6, e).
R. Cf — 6j( =r o, M — c» =: G, bm — ay:= G.
Ex. 4. Plan qai passe par le point (w'y'z') et la droite d*intersection des plans A» + By + Cjr-f-D = G,A'ap + B'y + C'» + D' = G.
^a^^- V+ C«'4- D "" A V+ B V+ CV-fD' '
55. Trouver téqtuition du plan mené par une droite parcUlèlemeni à une autre droite donnée.
Soient
y = 6z + 9, y = 6'jc + 9,
les droites données. Un plan quelconque passant par la première est représenté par
X — az — p + ^{y — bz — ç) = o, ou bien
a: -|- ^y — (A6 + a) z — (Iq + p) = o.
Ce plan sera parallèle à la seconde droite avec la condition
On en déduit
et, par suite, l'équation du plan cherché sera
(6 — 6') (x — az — p) =s (a — a') [y — 6z — q).
Si, avec la condition précédente, on avait aussi
le plan mené par la première droite renfermerait aussi la seconde : c'est le cas où les droites données se rencontrent; car en égalant les valeurs de X, il vient
Lorsque les droites sont parallèles, la valeur de X devient indéterminée : tout plan passant par la première, satisfera à la condition d'être parallèle à la seconde. Le plan des deux parallèles sera
{q — 9') (0- ^ a« — p) = (p — p') (y — bz — q).
fiz. 1. Plans passant par les axes et parallèles à la droite m — az —ps^Oy y -. 6z — 9 := o.
R. y — 6« = 0, « — 02 = 0» bw — ay:^0.
Ex. •• Que représente Téquilion
» — aj — p-^X{y^^bt — q) = o.
a poar les valeurs >=:o, X = ooy>=: — -?
R. Les plans projetants de la droite.
Ex. S. Plan mené par les droites
R. (it — n') (» — o) — (m — m') (y — 6) + («i»' — nm') {z — c)=: o.
Ex. 4. Le plan qui pa^se par deux droites imaginaires conjuguées qui se rencontrent est réel.
Soient
deux droites imaginaires conjuguées, avec la condition
qui exprime qu*elles se rencontrent.
L^éqnation d*un plan qui passe par la première droite peut s'écrire
«-(o + a'V/~l)ir-(p-f.p'l/-l)='i[y -(* + 6'l^-l)«-(?f+çV~l]. En exprimant quMl renferme la seconde, on trouve les relations
o' p' d*où on déduit ;l = — =^ • En substituant, il viendra pour le plan cherché
br q' "^ "^
6'» — a'y + (6a' — aV) z + (a'q — 6» = o J
c*est Péquation d'un plin réel.
