Déterminer l'angle d'une droite et d'un plan. Soient

x = az+p, Ax + By + Cz + D = o, la droite et le plan donnés. On sait que l'angle d*une droite avec un plan

est le complément de l*angle formé par cette droite avec la normale au plan. Désignons par al^^ a/^'y les angles directeurs de la droite donnée et de la perpendiculaire au plan; <p' étant Tangle cherché, on aura

sin 9' = cos a cos a' -j- cos (3 ros j3' -j- cos y cosy'. D*un autre côté, les cosinus sont donnés par les formules

cos a cos |3 cos y i

cos a' cos j3' cos y' . i

ABC j/a«4-B« + C*

En substituant, il viendra pour déterminer l'angle 9'

sin cp' s= ±

|/A«+B«4- C« j/o« + 6* + I On en déduit pour la condition du parallélisme de la droite et du plan

Aa + B6 + C = o, et pour la condition de perpendicularité

(A«+B« + C») (a»4-6« + i)-(Aa + B6 + C)« = o,

ou bien

(A6 — Ba)« + (A — CaY + (B — C6)> = o. Elle est satisfaite en posant : A — Ca «= o, B — G6 = o; d'où on tire

Enfin, remarquons encore qu'un plan quelconque perpendiculaire à la droite sera représenté par une équation de la forme

aac -j- 6y -|- z + ^ *= o* Ex. fl . Angles d*une droite avec les plans coordonnés.

R, sin f t ■= , 1 sin fit = ■ ^ — , sin y, = — - .

Ils satisfont à la relation : sin' ft -\- sin* ^a -|- sin' fs=z t. Ex. •. Montrer que les droites

cosa cosj3 cosy cosa' cosjS' cos/ font des angles égaux avec le plan

(cos a — cos a') » + (cûS /S — COS ^') y -f* (cos y — cos /) ir = o.

X y z Ex. S. Conditions pour que la droite -- = — = - soit perpendiculaire au plan

R. ol = 6tfi = en.

Ex. 4. Lieu des droites issues de Torigine et également inclinées sur le plan A«-f By + C;»+D = o.

Il faut éliminer a et 6 entre les égalités

Aa + B6 + C , ,,

On trouvera

(A» + By + C#)« = m« (A« + B« + C<) («« + y« -|- jt ).

Nous verrons plus tard que cette équation représente un cône.

57. Trouver f équation du plan mené par une droite perpendiculaire* ment d un plan Ax -|- By -{- Cz -f- D = o. Un plan quelconque passant par la droite

x=^az-\-p, y = 6z-|-ç,

est représenté par une équation de la forme

X — az — p -|- ^ (y — bz — ^) = o, ou bien