X -{- Ay — (A6 -j- o) z — (^ +p) = o
La condition pour que ce plan soit perpendiculaire au plan donné sera
A + AB — (X64-a)C = o; d'où
A — aC
On en d<^dui( pour l'équation du plan cherché
X — az — p y — bz — q
' A — aC ^ ~ B^ 6C
Ex. i. PlanB menés par les axes perpendiculairement au plan Ax-f-By-{-G2:-f-D=o.
R. Cy — Br = o, Ay — B« = o, C« — Az = o.
Ex. 9. Plan passant par la droite d'intersection des plans Aa; -4- By -|- Cs -f f) =: o, A'j; 4* ^'V + C'z 4- D' = o et perpendiculaire au plan ax -{- by -{- cz -{- d=zo.
Aop + By + Cz + D A^a? + B^v + Cz + D' Aa+B^4-U- "~ A'a -t- B'6 + Ce
Ex. 8. On a deux droites dans Tespace
^ ' y = bz-hq, ' y = b'z+q';
un plan P mené par la première parallèlement k la seconde et dont Téquation est (P) (6-6')(«-a;r-p)==(a — a')(y-^z-g);
trouver les équations de deux plans qui passent par ces droites et qui sont perpendiculaires au plan P.
On trouvera
Ces plans se rencontrent suivant la perpendiculaire commune des droites données. En se rappelant que la plus courte distance des deux droites est égale à la perpendiculaire abaissée d*un point de la seconde droite sur le plan P, on obtiendra immédiatement cette longueur par la formule qui donne la distance d'un point è un plan; afin de simplifier, prenons pour le point de départ de la perpendiculaire la trace (p', 9', o) de la seconde droite sur «y. On trouvera de cette manière pour la plus courte distance
^ {b^b'){p^p')^la^af)(q^q')
A = it — :z:z:^zzi:zzi:^zizizzizrr=i"z:zzi:rr • y {a — o')« 4- (6 — b')* + [ab' — ba'Y
M. Trouver l'équation de la perpendiculaire abaissée d^un poini sur le plan Ax'\-By-\'CZ'\-D = o»
Soit {x' y' z') le point donné : les équations de la droite demandée seront de la forme
Comme elle doit être perpendiculaire au plnn donnéi on doit avoir les
égalités
L'élimination des coefficients a et 6 nous donne pour les équations de la perpendiculaire
X — x' y — y' jT — «' "~A "^ il "^""C
On peut facilement en déduire les coordonnées du pied de cette droite. Soient xi^yi, Zi les coordonnées de ce point : on aura
g| — X' ^yi — y ^z< — Z' ^A (Xj - j/) + B {y^—y')^C{Zt — z')
Mais, le point (xi,yiyZi) étant dans le plan donné, on a la relation Axi + %i -f- Czi ss — D. En substituant et résolvant les égalités précédentes par rapport à Xi — x', yi — y\ z^ — z\ on trouvera
A (Ax' + By' + Cx' + D)
Zf — «' = —
A« + B« + C* B(A«'4.By' + Cz' + D)
C(Ax' + By' + C«'+ D)
Si on ajoute ces équations membre à membre après les avoir élevées au carré, on retrouve l'expression de la perpendiculaire P donnée précédemment (N"» 52).
Dans le cas où les axes sont obliques, les coeflScients a et 6 satisfont aux relations (N"* 36)
a -f- 6 eos v + cos p a cos v 4- 6 + cos A a cos ft -}- 6 cos A -|- 1 cos a cos |3 cos y
a, ^, y étant les angles de la droite cherchée avec les axes. De plus, on a aussi (N* 44).
cos a cos^ cos y
— Si) —
On en déduit
a -j- 6 cos V + C08 fx o cos y + 6 + C08 X a cos fx -{- 6 cos A -|- 1
En éliminant a et 6, il viendra pour les équations de la perpendiculaire en coordonnées obliques
X— x^-Ky— .V')cosv-Kg— gQcosfx (x~xOcosv+(y— y^)-|-(z^jg^)co8A
(x — x') cos fx -|- (y — y') cos A -|- jî — z'
Ex. fl. Droites iisuei de l'origine et perpeDdicnlaires aux plans x — as — p = o, y — 6« — 9 = a
R. y=o, a» + «=o; » = o, 6y + ar = o.
X fi z
Ex. 9. Droite menée du point («' y' z') perpendiculairement au plan - -f- t ~h ~ ^=^ <*
Ex. S. Trouver les équations de la perpendiculaire abaissée du point (»' / z') sur le plan X eoê K -{- y cos fi -\- z cos y — p=o, ainsi que les coordonnées du pied de cette droite
R = ^ ; »= »' + cos a (p — ar cos « — y' cos a — V cos y).
cos a cos /S cos y
y =y'+cos/9(p— »' cosflc— y'cos/8 — »' cosy),*=»' +cosy(p— «' cosa — y' cos/8— s'cosy).
Ex. 4. Lieu des perpendiculaires abaissées du point («' y' z') sur les plans définis par l'équation Aar 4- By + C* + D - X ( A'» + B'y -f- C!z + D') = o. On a les relations
