A-U' B — AB' C — AC
d*où on déduit par Félimination de A
a (BC — CB') + b (CA' — AC) + (A B' - BA') = o.
Le lieu cherché sera le plan représenté par Téquation
(BC - CB') (« — «') 4- (CA' - AC) {:^-y') + (AB' — BAO {z - s') = o. C*est un plan perpendiculaire à la droite d'intersection des plans donnés.
59. Trouver l'équation d'un plan passant par un point {x^ y^ z') et perpendiculaire d la droite
Un plan quelconque perpendiculaire à la droite donnée a une équation de la forme (N^* 56)
Puisqu'il doit passer par le point (x' y' z% on a la relation
ax' + ty' + 2' -}- ^ = o.
En retranchant ces équations membre à membre, il vient pour le plan demandé
Afin de calculer les coordonnées du point où ce plan rencontre la droite donnée, écrivons les équations de celle-ci sous la forme
X — x' => a (z — z*) — (x' — az' — p),
Les trois dernières égalités conduisent aux valeurs suivantes :
Ex. I. Plan mené par rorigine perpendiculairement à la droite
R. te + my + nar = G.
Ex. S. Plan mené par le point («' y' z') et perpendiculaire à l'intersection des plans A« + By + C2 + D = o, A'aj + B'y + C'« + D' = o.
R. (« - x') (CB' — BC) + (y — yO (AC — CA') + (« — «') (BA' — AB') = o.
£x. s. Équations de la perpendiculaire abaissée du point (o^ y' s') sar la droite « — ojr — p = o, y — 6z — 9 = 0.
La droite cherchée est Tintcrsection de deux plans : Pan passant par le point et la droite donnéci Tautre passant par le point eC perpendiculaire à la même droite; ses équations seront donc
« — az — p y — ft<f — ç
a' — oi' — p y' — az' — q *
Ex. 4. Etant donné un triangle ayant pour sommets les points (x' jr' z'), {sb" $'^ s"), (x'" y"' z^'*), montrer que les plans perpendiculaires aux côtés et passant par leurs milieux se coupent suivant une même droite.
Un plan quelconque perpendiculaire k la droite
a pour équation
(x"-«')« + (y"-y')y + (ir"-«')^ + i = 0.
En substituant à «, y, ;r les coordonnées du milieu des points (s/ y' <0# (^" y'' ^")9 il vient
L'un des plans cherchés sera donc
«"■ — «'» 4- !/"■ — «'■ 4- «"• — ;»'• (ar"-«')a5 + (y"-y')y + (;8"-j');ï ^î^-^^^ ?^--i= = 0.
On trouvera également pour les équations des deux autres
En ajoutant ces trois équations membre à membre, il vient o^o; donc, les plans passant par une même droite.
