PLAN ET UIGN6 DROITE
OoordounéM tétrRôdrlqnes.
SoHMiiiE. — Définition dti coordannétê létraéiriquM. — Btlalion fondamMtalt, — Diëtanee d» dtax fOinU. — Eqwtlion du plan ; relation mirt Ut ptrpendieHlairu abaïMétt des êojnmtti 4ii Utraidre de rifirawt lur un plan. — Rtpriêtntalion d» la Ugne ifoilt; coefficient* direttturi. — Problèiaci,
% 1. DÉFINITIONS, ÉQUATION Dtl PUN ET DB LA LlflNB DROITE.
M, Considérons un tétraèdre 1234 {fig. 19) dont les faces opposées aax sommets i, 2, 3, 4 sont représentées par les équations
(i) A = XC08 ai +y cosPi -J- 2 cos yi — jr, = o, (2) B = a: cos ai -\-y cos ^i + « COS yt — iri = o, (3} C =" a; cos cn-^y cos ^i-^zco&ys — jt, = o, (4) D = x C08 at -\- y cos ^t -\- z cos y, — n» = o. Nous supposons que le tétraèdre est rapporté à un système d'axes rectangulaires, l'origine étant dans l'inlérieuF de ce solide. On appelle coordonniet titraédriqueê d'un point U, ses distances positives ou négatives aux faces du tétraèdre,
Si 00 regarde comme négative la perpendiculaire abaissée de l'origine sur l'une des faces, il faudra attribuer le même signe k la coordonnée t^,,. ».
relative à cette face, si le point H est dans la même région de l'espace que
Torigine; pour un point situé de l'autre côté de la même face, la coordonnée sera positive. La position du point M est complètement déterminée, lorsque l'on connaît en grandeur et en signe trois de ses distances aux faces du tétraèdre; car, si on donne, par exemple, les distances MP, MQ, MR (fig. 19), on élèvera des perpendiculaires aux plans A, B, G, sur lesquelles on prendra des longueurs égales aux coordonnées dans le sens indiqué par leurs signes; si on mène ensuite par leurs extrémités des plans respectivement parallèles aux faces A, B, G, ils se rencontreront suivant un seul point qui répond aux coordonnées données.
D'après la signification du premier membre des équations des faces, un point dont les coordonnées cartésiennes sont Xi, yi, zi aura pour coordonnées tétraédriques les nombres positifs ou négatifs
Al = Xi cos a< -|"y* ^^^ P« "1" ^« ^^5 7« — ^*> B| =s Xi cos «ï -[- yi cos j3« -^ zi cos yt — ttj.
Cl = Xi cos «s 4" y« ^^s P» 4" ^« c^^ ys — ^3»
D| = Xi cos OL^ -{- y I cos Ç>^ -J" ^« ^^s y a — 7^4.
On peut donc regarder les coordonnées tétraédriques d'un point comme étant des fonctions des coordonnées cartésiennes définies par les équations (i), (2), (3), (4). Nous représenterons ces coordonnées par les lettres A, B, G, D. Le tétraèdre fixe 1234 se nomme le tétraèdre de refermer.
Puisqu'un point de l'espace est déterminé par trois coordonnées, la quatrième est une conséquence des autres, et il doit exister une relation entre les coordonnées tétraédriques, telle qu'on puisse calculer Tune d'elles, lorsque les trois autres sont données. Afin de l'obtenir, joignons le point M aux sommets i, ?, 3, 4, et exprimons que la somme des volumes des tétraèdres qui ont leur sommet commun en M est égale au volume du tétraèdre de référence. Soient a, 6, c, d les aires des faces A, B, G, D, et y le volume du tétraèdre fixe. En remarquant que les hauteurs des tétraèdres intérieurs sont les coordonnées tétraédriques — A, — B, — C, — Dde ce point, on aura l'égalité
(s) — aA — 6B — cG — dD = 3V.
Il est facile de vérifier que celte relation a lieu quelle que soit la
position du point M dans TespacB. Ainsi, par exemple, pour le point Ms, la coordonnée A est positive; mais, dans ce cas, il faut retrancher le tétraèdre qui a pour hauteur A de la somme des trois autres pour obtenir le tétraèdre de référence; donc, Ai, Bt , Ci, Di étant les coordonnées du point Ht, on aura encore
— aA, — 6B2 — cCî - dDf = 3V.
En vertu de la relation fondamentale, il suffit de connaître des quantités proportionnelles aux coordonnées tétraédriques, pour en déduire leurs valeurs. Supposons que les coordonnées d'un point soient proportionnelles à f, 9, A, t ; on écrira
A B C D__Aa + B6 + Cc + Dd 3y
f g h i /b -)- 96 + /rc -|- trf af'\-bg-\-eh-\-di^
d'où
a/""!- 6gf + cfc -}" ^* ' <»A+ ^5 + cA + di
0/"+ bg-\-eh + di «/^+ 6j + (?A -|- di
•1. Plus généralement, on nomme coordonnées tétraédriques d'un point, les produits de ses distances aux faces du tétraèdre par des constantes lym^n^p différentes de zéro, positives ou négatives; en les représentant par X, Y, Z, T, on aura, par définition^
X = M, Y = mB, Z = iiC, T = pD.
Les constantes /, m, n, p se nomment les paramètres de référence. II est évident qu'à chaque système de valeurs de X, Y, Z, T, correspond un seul système de valeurs pour A, B, (1^ D, et, par suite, un seul point dans l'espace. Enfin, ces coordonnées seront liées entre elles par la relation
aX , 6Y , cZ , rfr
Lorsque les faces d'un tétraèdre sont représentées par des équations de la forme ox + fty + Ci?; + d = o, on peut prendre pour les coordonnées
~ 86 — tëtraëdriques, les nombres positifs ou négatifs
X = aix + biy + ci« + rfi, Y == ùfX H- 6,y + Ctz + rf*, Z = aso: + bj^y + Cjz + ds, T = CiX + 64^ + C4« + d^;
les paramètres de rëférenec ont alors pour valeurs
/=-|/aî+6î+cî, m=|/aî+frî+cî, n^/aj+^î+cî, p=|/a;+6î+cî.
Si on pose
il vient
^ aA ^ 6B „ cC ^ rfD X= — , Y = -, Z = -., T=— ;
ce sont les volumes des quatre tétraèdres partiels ; on les appelle coordonnées volumes; en les désignant par Vj, Vi, Vs, V4, on aura régalité
Vi'\-Vt + Vi-\-Vé = — V.
En6n, si on prend pour les coordonnées d'un point les rapports V ' v* ' \F ' ÂF ^ ^^ relation fondamentale devient
où Ç, y), Ç, r représentent ces rapports.
Les coordonnées Ç, y}, Ç, r se nomment barycentriques ou rapports coordonnés.
Remarqm. Nous voulons dès à présent avertir le lecteur que nous supposerons toujours, dans cet ouvrage, que les paramètres de référence sont égaux k l'unité; de sorte que les coordonnées tétraédriques d'un point seront ses distances aux faces du tétraèdre fondamental. On les appelle aussi quelquefois les coordonnées-distances d'un point.
•9. Trouvtr Uê coordonnées d'un point H qui dimia la ditUmce d» deux points donné! P{A'B'C'D'), Q(A"B"C"I>") m deux legmenl» dont le rapport eil égal à - ■
Soit (A, B, C, D) les coordonnées du point M. Abaissons des points P, H, Q des perpeodiculaires sur la hce A, et menoas ensuile PK et HH perpeodiculBircment k QR. On «are
