KH PM
oa bien fi|. w.
A — A'^f À" — A m D'où OD tire
^ fA" + wiA' *~ ( + tn *
Od trouverait semblablement poor les autres eoordonDées
„ fB" + mB' „ fC" + mC' ID" + mP'
" i + m ' ^" l + m ' l-\-tn '
En particulier^ pour le point milieu de PQ, on aura
A.di+i:, B 5i5:, c-5i£:. D 5^t5:.
•S. Trouver l'exprettion de la diilance de deux pointa dotmi» P{A'B'C'D'), Q(A"B"C"D").
D'après la relation rondamentele, on a d'abord les égalités
aA' + tB'+fC' + rfD' = — 3V, aA" + 6B" + eC" + rfD" = — 3V.
En retranchant ces équations membre k membre, et posantp^A" — A', ç^B" — B', r = C" — C, « = D" — D', il viendra l'équation
(Jt) ap-{'bq-\-er+d8 = o.
■ Désignons par Ai, Ai, Ai, A4 les hauteurs du tétraèdre ou les perpendiculaires abaissées des sommets 1, 2, 3, 4 sur les faces opposées; par
^9 ^y 7» ^ I^^ angles de la droite PQ avec ces hauteurs; par A la distance cherchée. Si nous projetons successivement la longueur PQ sur les hauteurs, nous aurons les égalités
p s= A cos a, ç B=s A cos (3, r = A cos 7, « = A cos d.
Mais, d'après la théorie des projections (N"* 5), les angles d*une droite avec trois axes obliques satisfont à une relation de la forme
où les coefficients Hi, an, an etc. sont des quantités qui dépendent des angles des droites fixes. Appliquons cette formule au cas où les droites fixes sont les hauteurs Ai, At, As» et remplaçons cos a, cos |3, cos y par
leurs valeurs t » t » t ' on arrivera k Tégalité
H|A* = «hP* -f" ^"9* + «33r* + «ifpç + anpr + a^qr.
De plus, de la relation (k) on tire
ap^ = — bpq — cpr — rfps, bq^ = — apq — cqr — dqs^ cr* = — apr — hqr — drs.
La combinaison de ces équations permet d'éliminer les carrés p*, 9% r', et d'arriver à une équation de la forme
A* = kitpq 4- ki^pr + ki^ps + k%zqr + kuqs + kz^rs.
Les coefficients kw^ k\z etc. pourraient se calculer par les équations précédentes; mais il est plus facile de déterminer leurs valeurs, en faisant coïncider les points donnés successivement avec les sommets du tétraèdre. Remplaçons d'abord p, q^ r, s par leurs valeurs; la formule précédente deviendra
A*=it„(A"-AO (B"-B')+fci5(A"- A') (C"-C')+Au(A"- AO(D"-D') +*«(B"— B') (C— C')+*.4(B"— B') (D"— D')-|-A54(C"— C')(D"— D').
Soient dit» dis, du, d», ds4, ds4 les arêtes du tétraèdre; les coordonnées des sommets étant i(— Ai, 0,0,0), 2(0, — Af, 0,0,), 3(0,0, — As, o),
4(o, Oy o, — Ai), on doit avoir les relations
D'où Ton tire
^'^ jt ^. fc ik, A ^.
L'expression de la distance des deux points sera finalement A» = — r^ (A"— A')(B"— B')+ f^ (A"-A')(C"-C')+ft (A"— A')(D"— D')
Aj/lj Aj'*4 '•s'** J
Pour simplifier récriture, posons 9(AB'+ BA') ==-[,% (AB'+ BA') + ^ (AC'+ CA') + ^{AD'+ DA')
La formule qui donue la distance de deux points(A,B,C,D),(A^B',C^D') sera de la forme
(IIÏ) A» = 9 (An) + (p (A'B') — 9 (AB'+ BA').
64* Distances d'un point aux sommets du tétraèdre de référence. Supposons que le second point (A'fi'C'D') coïncide avec le sommet I ( — Ai O; o^ o) du tétraèdre. On aura
(p(A'BO = o, (p(AB' + BA0-^B+Ç5c+$iD;
par suite, la dislance Ai d'un, poinl (A, B, C, D) de l'espace au sommet i
sera déterminée par la formule
(IV) aî = ,(ab)-[^b+^c+^d].
On trouve de la même manière pour les distances de ce point aux autres sommets
A«=.9(AB)-r^A+^C + ^Dl,
[d* d* rf» 1
i: = ,(A.)-[SiA+^^'B+&C
Si on introduit les hauteurs du tétraèdre dans la relation fondamentale aA-l-frB + cC-}-c(0=s — 3V, on peut la mettre sous la forme:
7--f-7--{--r--[-'r- = — I. Cela étant, multiplions respectivement les
Al Al /I3 ni
équations précédentes par t- ' r" ' ïT ' r ^^ ajoutons-les membre
Af Aj As A4
à membre. Il viendra
Il en résulte que les dislances d'un point de Tespace aux sommets du tétraèdre sont liées par la relation
A! Aî Aî Aî
66. Équation homogène du premier degré. L'équation homogène du premier degré cnire les coordonnées tétraèdriques
(6) /A + mB + wC -f pD = o,
est aussi du premier degré en x, y, 7, si on remplace A, B, G^ D par leurs valeurs : elle représente donc un plan qui peut être quelconque vu l'indétermination des constantes /, m, a, p«
^ 91 — Toute équation à deux termes de la forme
(7) /A + mB = o,
définit un plan passant par Taréte 34 du tétraèdre; car, elle est satisfaite par tous les points communs aux faces A et B. On en tire
équation qui exprime que le rapport des perpendiculaires abaissées d*un
point du plan qu'elle représente sur les faces A et B est constant. En
A particulier^ pour les plans bissecteurs du dièdre AB, on aura
ou bien
Il sera facile de vérifier qu'en général toute équation du premier degré h deux termes représente un plan passant par l'une des arêtes du tétraèdre.
Considérons, enfin, l'équation homogène h trois termes
(8) /A + wtB + wC = o.
Elle est satisfaite par le point commun aux faces A, B, G : elle définit donc un plan qui passe par le sommet 4 du tétraèdre, quelles que soient les valeurs des constantes /, m, n. En général, une équation à trois termes représente un plan mené par Tun des sommets du tétraèdre de référence.
I. Signification des constantes de l'équation du premier degré. Si dans l'équation (6) on introduit les coordonnées cartésiennes, on trouve
(Icosoii+mcosat + ncosoLz'^'pcosaA) 3c -{- (/ cos jBi + m cos|3ï+iicos/33+pcos(34)y +(<cosyi+''»cosy«+ncosy5-|-pcosy4)z — (/7ri+m7ri-}-n7r5+/'^4) = o.
Soit Pi la perpendiculaire abaissée du sommet i du tétraèdre sur ce plan; en remarquant que les coordonnées cartésiennes de ce point
annulent B, C, D, tandis que A prend la valeur — ht pour ees inémes coordonnées, il viendra
-/Al
où P, Q, R sont les coefficients de x, y, z dans Fëquation du plan. En développant, on trouve facilement que la quantité sous le radical du dénominateur se réduit à
/* + m* -j- ^** + P' — ^^^ ^^^ {^^) — 2/n cos (ac) — 2lp cos (ad) — 2mn cos (6c) — 2mp cos (6rf) — 2np cos (ed) ;
cos (ab) désigne le cosinus de Pangle des faces A et B ou le supplément de l'angle des normales, et il faut attribuer une signification analogue aux expressions cos (ad), cos (ae) etc. Afin d'abréger, nous représenterons la quantité précédente par la notation
Cela étant, Texpression de la perpendiculaire pi peut s'écrire
On trouverait de la même manière pour les perpendiculaires pt, ps» p* abaissées des sommets 2, 3, 4 sur le plan (6)
— mh% — nht — pfci
On en déduit les égalités
Al At As A4
ou bien, en remplaçant Ai par — etc.,
l m n p cipi "~ 6pi ~~ cps "~* rfp4 '
L'ëquation homogène du premier degré peut donc se mettre sous la forme
ou
(lo) apik -|- 6pjB -|- cpzC -}- rfpiD = o.
Les quantités pt, p%j p^, Pa doivent satisfaire à une certaine relation en vertu de laquelle Tune d'elles est déterminée lorsqu'on donne les trois autres; car, la position du plan ne dépend que de trois perpendiculaires. Des égalités précédentes, on tire
Aî hl AJ AJ (A, ' A, ' A/ A4)
et, par suite,
— 2r-T-cos(6c) — 2 7-Ç-cos(6a) — 2 7-i~cos(ca)=i; AjAs A4A4 Ai A4
ou bien
(VU) a*PÎ+6*p«+^*/'3~l"^*P4 — 2p<pîa6cos(a6) — 2pipsaccos (ac) — 2pip4a(/cos(a6() — 2pjp36ccos(6c) — 2ptp46dcos(6(f) — 2p5p4cdcos(cd)=9V*.
67. Plan à l'infinû Si, dans l'équation homogène du premier degré, on pose / = a, m =^ 6, n = c, p = d, il vient l'égalité
(II) aA + 6B + cC + dl) = o,
qui, d'après la relation fondamentale, équivaut à 3y = o, ou à une constante égalée à zéro. Pour le plan qu'elle définit on doit avoir
api bpi cpz dpA
c'est-à-dire que les perpendiculaires pi, pt, ps, p4 doivent être égales;
ce qui est impossible i moins qu^elIes ne soient inCniment grandes. Donc, réquation (ii) doit être interprétée comme représentant un plan à l'infini dont la situation est indéterminée. Étant donné un plan /A -[- wiB + nC -|-pD = o, Téquation
(12) /A + mB + nC + pD — k{ak + 6B + cC + dD) = o,
représentera un plan quelconque parallèle au premier, si k est un paramètre arbitraire; car, les points communs au plan (12) et au plan donné sont situés dans le plan à l'infini aA + 6B -f- cC + dD = o.
68. Représentation de la ligne droite. Deux équations simultanées du premier degré de la forme
/A + mB + nC + pD = o, /'A + m'B + n'C + p'D = o,
sont satisfaites par les coordonnées des points communs aux plans qu'elles représentent; elles déterminent donc une droite dans l'espace, l'intersection de ces plans.
Lorsqu'une droite de l'espace est définie par deux points P(A'B'C'D'), Q(A''B''C''D"), les coordonnées de l'un quelconque de ses points sont données par les formules
^ /A" + niA' /B" + wB' ^ /C" + mC' ^ /D" + twD'
As=i ï— i » " = n » t]= p- 9 C== r-- f
où / et m sont des paramètres variables.
Enfin, supposons qu'une droite soit définie analytiquement par les équations
/A + »wB 4- nC + pD = o, /'A + m'B + n'C + p'D =« o,
et assujettie à passer par un point donné (A'B'C'D'j. On aura d'abord les relations
l\f -| mW + nC + pD' « o, /'A' + m'B' + n'C + p'D' « o, rtA' + 6B' + cC + dD' = — 3 V, oA + 6B + cC + dD = — 3V.
Si on les combine par soustraction avec les précédentes, on trouve que les coordonnées d'un point quelconque de la droite doivent
satisfaire aui équations
/ (A - A') + iw (B - B') + n (C — C) + p (D — D') = o,
En les résolvant par rapport aux différences A ^ A% B — B', C — C% D — D'y on arrivera à mettre les équations d'une droite qui passe par un point sous la forme
A— A' B — B' Al It
les constantes A«, At, As, A4 sont proportionnelles aux déterminants
m ft f>
l m n V m' n' abc
c'est-à-dire, qu'elles satisfont aux équations
/A| -f- m\% + nAj +JP^* = o>
/'Al + m'Aj -|- n'As +p'A4 = o,
aki 4" 6A1 -|- cAj 4^A4 = o.
Mais, si on projette la distance p d*un point variable (A, B, C, D) de la droite au point (A' B' C lï) successivement sur les hauteurs du tétraèdre, on aura
A — A'==pcosa, B — B'c=pcos(3, C — C'=pcosy, D — D'=pco8d;
a, p, y, d désignent les angles de la droite avec les hauteurs Ai, Ai, As» A4 du tétraèdre. On en déduit
ces a cos Ci cos y
cos^
Posons Ai x= cos a, At =^ cos /3, As as cos y, A4 "==> cos d. Les équations d'une droite issue du point (A' B' C D') seront finalement
Ai
où les constantes ^i^Xt^Xs^Ai représentent les cosinus de la droite avec les hauteurs du tétraèdre; on les appelle coefficients directeurs. Comme deux de ces quantités suffisent pour déterminer la direction de la droite, il doit exister entre elles deux relations distinctes. Nous prendrons pour Tune d'elles, Téquation
(VIII) ail + bit + c/, + (Ha = o, ou bien
Afin d*en trouver upe autre, substituons dans la formule (N^ 65) qui donne la distance de deux points, aux différences des coordonnées leurs valeurs tirées des équations de la droite, c'est-à-dire, A — A' = A|p, B~B' = itp, C-^C'==A5p, D — D' = i4p. On trouve ainsi la relation
nihi Ai/is nifiA fithi ntài /isAi J
ou bien
-[abd\\l, + acdU\l, + add^,,\l,-{-bcdl,k,l, + bddl,).,X, + cddl^l,] = 9V«.
Afin d'abréger, nous écrirons simplement pour cette relation
(IX) cp(/,A,)=i.
•9. Trouver les conditions pour que deux plans soient parallèles. Soient
lA + fw B + nC + pD == o, /'A + m'B + n'C + p'D = o,
les équations de deux plans. Nous avons vu (N*» 67) que tout plan parallèle au premier est défini par une équation de la forme
/A + mB -f- nC + pD — fc {a A + 6B -j- cC + dD) = o,
(/ — Aa)A + (m — ifc6;B + (/« — Ac)C + (p — Ad)D = o.
Pour que le second plan coïncide avec ce dernier^ on doit avoir
/ — ka=lJil'y m — kb=iixm'^ n — kc^^'y p — kd i=3fxp\
Il étant une constante. Si on prend successivement trois de ces équations pour éliminer k et f/, on trouvera pour les conditions du parallélisme des deux plans
70. Déterminer le point d'intersection d'une droite et dun plan. Supposons d'abord que la droite soit définie par deux équations de la forme
abc
/A + mB + nC + pD = o, /'A + m'B + n'C + p'D = o,
et soit
AA + fiB + vC -}- ttD = o,
celle du plan donné. Les coordonnées cberchées doivent satisfaire à la fois à ces équations ainsi qu'à la relation fondamentale
aA + 6B + cC + rfD = — 3V,
Il suflSra donc de les résoudre pour obtenir ces coordonnées.
Pour que la droite soit parallèle au plan, il faudra que le dénominateur des valeurs obtenues soit nul, ct^ par suite, on doit avoir la relation
/ wi 71 p I «= o.
a b c d Lorsque la droite est représentée par des équations de la forme A— A' B-B' C — C D — D'
Al
As
on en tire A = A' + >,p, B^B' + A^p, C = C' + >5p, D = D' + A,p. Substituons ces valeurs dans Tëquation du plan donné : il viendra
A (A' + Xip) + pi (B' + A.p) 4- V (C + A3p) + TT (D' + ^4?) = o.
On en déduit pour la distance du point d'intersection de la droite et du plan au point (A' B' C D')
^ IX' + ixB' 4- vC + 7rD^ ^ ■"" //, + fA/s + v/s + 7r/4 '
La condition du parallélisme de la droite et du plan sera
/A| -}- f*^-2 + vh -f- 7r/4 = o.
Si on avait à la fois
/A' + y.ir + vC + ttD' = o,
la droite serait complètement dans le plan donné.
7 1 . Trouver V équation du plan qui passe par les points (Ai Bi Ci Di), (AîBsCD,), (A3B3C3D3).
Soit
/A + mïJ + nC + pD = o
réquation du plan demandé. Gomme il doit renfermer les points donnés on a les relations
/Ai + »«B, + nC, + pDi = o,
/A2 + mBj -}- wCj +pDa =. o,
/A, + W1B5 -f nCs +pD3 = o.
L*élimination des paramètres donnera pour Téquation du plan cherché
A B C D Ai Bi Ct D« A3 Bs C3 D,
7%, Trouver Véquation du plan passant par un point et U7ie droite donnés.
Soient (A' B' G' D') le point donné et
/A + wiB -f nC + pD = o, /'A + w'B + n'C + p'D = o,
les équations de la droite. Un plan quelconque mené par cette droite est représenté par une équation de la forme
/A + mB + nC +pD = k (/'A + m'B + n'C + p'D),
où k est un paramètre arbitraire. De plus, le plan passant par le point (A' B' C D'), on doit avoir
/A' + mB' + nC +pD' == I: (/'A' + »?i'B' + n'C +p'D').
En divisant ces équations membre à membre, on trouve pour l'équation demandée
