IX -I- „iB + «C + pD l'A + m'B + n'C + p'D
/A' + fwB' -f nC +pD' /'A' + m'W + n'C + p'D' Si la droite était définie par des équations de la forme A=A, +^«Pi B = B4 + Àip, C=Ci+>sp, D«=D4 4-A4p,
en supposant que le plan demandé soit AA -f- uB -f- vC + ^D = o, on aurait les conditions
AAi + pBi 4- î'Ci 4- ^ï>i = o> AAi + fxAj + vis -}- ^^4 = o, U' + piB' + vC + ttD' = o.
L'équation du plan mené par le point et la droite serait
A, Bi C, D,
Al Al A3 A4
7S. Trouver l'angle de deux droites données.
Soient ii 1% h ^4, pii fxs fxs 1*4 les coeflScients directeurs des droites. Par un point quelconque de l'espace 0 (Ai Bi Ci Di) menons deux droites
parallèles aux précédentes, et prenons sur chacune d'elles deux points P et Q à une distance égale à l'unité du point 0. Désignons par AtBfCiDt> AsBsGsDs les coordonnées des points P et Q : on aura
A, = A, + A|, Bf = B, + ?.,. C, = C, + A5, D. = Di+i4;
A5=Ai+fjt|, B5 = Bi-|-fti, C3 = Ci + p5, Ds = D, + (jt^.
De plus, le triangle OPQ donne
2 — 2 cos (p = PQ ,
ou bien, en remplaçant PQ par la formule qui donne la distance de ces points {S^ 63)
S-2C08Ç ri|^|(i,f..)(A,-f.,)+ik(A f,,)(X3 p,)4.iL.(A,M.)(A,,xJ
Si on développe le second membre, il viendra, eu égard aux relations
2 — 2 cos 9=2— -ç (Aifxj + /uijÀj), et, par suite,
cos <p = - ç (X|/ULj + IXili).
Ainsi, l'angle des deux droites données sera déterminé par la formule C0S9 irf!k(X,fx,+f.,À.)+i^(X.p,+p,A,)+0-(À,f.,+fx,iJ
On en déduit pour la condition de perpendicularité des deux droites
Supposons maintenant que les droites soient définies par les équations
/A + mB +nC + pD = o. .. /iA + miB+ niC+piD=o, ^^ l'A 4- m'B+n'C + p'D = 0. ^ *^ /'.A + m'.B + «'«C + p'iD = o.
On sait que les coefficients directeurs de la première sont proportionnels aux déterminants
abc
Afin d'abréger, représentons-les respeclivcment par L, M, N, P. Il viendra, pour déterminer les coefficients directeurs, les égalités
It l* h >4 [cp(X,X,)]J I
L M N P [<p(LM)]î [(p(LM)]i
On aurait aussi pour la seconde droite
Li Ml N, P, \(^{U^i)]{
En substituant, dans l'expression de cos 9, aux coefficients directeurs leurs valeurs tirées des égalités précédentes, il viendra
