COS
2[<p(LM)K[<p(I'.M.)]i
^ (LM,+MLi)+fif (LN4+NL,)+=^(LP4+PL,) n^n^ n^n^ n^n^
74. Trouver Nquation éPun plan renfermant les coefficients directeurs de la normale à ce plan.
Supposons qu'un plan soit représenté par une équation de la forme
apiA 4- ^PtB + cp*^ + rfp^D = o.
Désignons par Ai, Ai, As, A4 les coefficients directeurs de la perpendiculaire au plan, élevée en Tun de ses points 0(A' B' C D' ). Nous pouvons
eonsîdérer cette surface comme engendrée par le déplacement d'une droite (pi fXi /uls ^14) passant par le pied de la normale et restant perpendiculaire à cette ligne. On sait que la condition de perpendicularité de eesdeux directions est (N"* 75)
Cette équation peut se mettre sous la forme
Pour abréger^ désignons par 91, tpt, fs, 94 les dérivées de la fonction (IX) du N^ 68^ prises respectivement par rapport à Ai, As, As, A4; elles seront liées par la relation
A|(pi + AtÇî -j- As95 -|- A494 = 2.
Gela étant, la condition de perpendicularité devient
(A) lx^(p^ -{- (Atf% + f^sÇs + W494 = O.
D'un autre côté, la droite (fxi fxt ^3 1x4) menée par le point (A' B' C D') est représentée par
Aj-A' B--JB' C — C D -- D'
Si on élimine les coefficients directeurs entre ces égalités et la relation (&), on obtiendra Pëquation de la surface engendrée; on trouve ainsi
(A — A')9i + (B — BOcp* + (C — C')cp5 + (D — D')94 = o.
Posons /*= A'cpi + B'9î + C'çs + D'94; elle deviendra
Acpi + B9i + Ccps + D(p4 — f= o.
C'est une forme nouvelle de l'équation d'un plan où les coeiScients des variables sont des fonctions des coefficients directeurs de la
normale. On peut la rendre homogène par la relation fondamentale
et écrire
ou bien A(,.+i:) + B(<p. + /) + c(,,+i;) + D(9.+£) = o.
75. Trouver les cosinus directeurs de la normale à un plan donné. Supposons d'abord que le plan soit représenté par Téquation
On sait que les quantités pi, ps, ps, p* satisfont à la relation (N<> 66, VI)
\Pl, Pi, L', ?-*f==:i.
Al ht As A4)
Désignons le premier membre par F(p), et par Fi, Fi, Fs, Fi ses dérivées prises respectivement par rapport à pifPu P') P*' L'équation précédente peut encore s'écrire sous la forme
(A) -piF| + -pîF« + -p5F5 + "P*P* = ^*
^ 4 Jb m»
Si on représente par Ai, Bi, Ci, D| les coordonnées du pied de la perpendiculaire pi^ par Ai, As, A3, A4 les coefficients directeurs de la normale au plan, on aura (N" 68)
. A.+Ai . B, , C, , D,.
P\ Pi Pl Pi
d'où
Ai=3Aipi — Al, Bi=piA„ Ci = piAs, Di=piA4.
D'un autre côté, Péqualion du plan peut se mettre sous la forme
et comme le point (Âi Bi C| D|) appartient à cette surface, on aura, en substituant,
— AiÇi +p« (A|(p4 + /t9« "4" ^sçs + ^494) — /*== o. D*où on déduit
2pi =s-{-A|(pi +/".
On trouverait semblablement
Multiplions ces égalités respectivement par ?- » r~» j-j t-;
Al As As A4
il viendra, eu égard à la relation T-+T""f"r-"f*r = °>
Al At As A4
ou bien
^ ' A. ^ A, ^^ As +X"^^
II s'ensuit que pour tous les plans parallèles au plan donné, c'est-à-dire, pour les plans qui admettent les mêmes valeurs de A|, }.f, As, A4, les équations (h) et (V) seront satisfaites quelles que soient pi, pt, ps, P4; on doit donc avoir
^=+£f., ^=+iF., r=+-F'. r=+-F-
Al * 2 Ai * 2 As * 2 A4 '2
On peut donc prendre pour les coefficients directeurs
ii==zb-AiFi, i2 = i:-A,F«, i3 = =fc-A5Fs, X4 = ±-A4F4
suivant les deux directions opposées de la normale,
— <08 — ou bien, en remplaçant les dérivées par leurs valeurs,
>, =L ^ cos (ao) — 7- cos (ac) — ^ cos (ad),
^f = Çî — Ç! COS (ah) — -T^ cos (bc) — Ç^ cos (6rf), n% ht riz A4
As = T-' — T- cos (oc) — Çî cos (6c) — Ç^ cos (cd),
As Al A« A«
A4 = ?- — 1- cos (ad) — Çî cos (6d) — r- cos (cd), A4 Al A« ^ ' As
Si réquation du plan donné est de la forme
ap^A + 6p,B + cpjC + dp^D = o, on trouve pour les coefficients directeurs de la normale, en remplaçant A, par =i— etc.,
A, = — [ap^ — 6pj cos {ah) — cp;^ cos (ac) — dp^ cos {ad}'],
Aj = — [5p, — ap^ cos (a6) — cp^ cos (6c) — dp^ cos (6d)],
A5 = — : [cp^ — ap^ cos (ac) — 6p, cos (6c) — dp^ cos {ed)]f
A^ == — - [dp^ — ap^ cos (ad) — 6pj cos (6d) — ep, cos (cd)]. 3^
Enfin, lorsque réquation du plan est /A-|-niB -|-nC-|'pD = o, on sait que
Pi -,/ Pï ^«, P3 . „ Pa ^^
ou a est une constante. Substituons ces valeurs dans la relation
Pi, ?i, El, Pif^i;
il viendra
cty par suite.
Les coefficients directeurs de la normale auront pour expressions
^ / — m cos {ah) — n cos {ac) — p cos {ad)
j tn — /cos (a6) — n cos (6c) — p cos (6d)
^ n — f cos {ac) — m cos (6c) — p cos (cd)
p — /cos (ad) — m cos (6d) — n cos (cd)
Te. Trouver Fangle de deux plans donnés.
Supposons que les plans soient définis par les équations
h, ' fc, 'A, ^h.
Soient i,i,A,A^, /:^4«,f^.,fx^ les coefficients directeurs des normales à ces plans; on aura (N* 73)
cos ç = - 9 (i, u, + ,u, ?.,),
ou bien
cos ? = -f^l ?1 + - f*»<Pt +^f*3'Ps +^P4'P4-
Or, d'après les relations du n^ 75, on a les égalités
T Pi f 1 p% f i pz f i p* f
2 hi 2hi 2 hi 2n% 2 hz 2hz 2 ^ hi 2^4
Substituons ces valeurs dans l'expression de cos 9; en tenant compte de la relation
on trouve
/pi , ps , ps X P* \
Enfin, si on remplace pi, f^s, pis, fi4 par leurs valeurs, il viendra
cos (p == î-
9==i- T r-cos(flo) — 7- cos (ac) — f- cos (aa)
Ai [Ai *« A3 ^ ' Ai ' 'J
+Ç! ffî |1 eos (a6) - p cos (6c) - ?-%os (6d)l
/i« L^t wi A3 A4 j
+ 7- r- — r-cos (ac) — pcos (6c) — ?^cos (cd) ' A3 [As Ai Aï A4 J
+ ^ [9* ^ cos (drf) - |! cos (6e/) ~ p cos (crf)l ' A4LA4 Ai Aj ^ A3 J
ou bien
cos
Lorsque les équations des plans sont de la forme
/A 4- mB + wC + pD = o, l'A + m'B + n'C + p'D = o,
on a les relations
etc.
Al [/, m, n,p| Ai |/', m', «',p'|
£n substituant, l'expression du cosinus de Tangle de ces plans deyient
^* ? = =»= n r-cTT-TT- ,) ['^' + ♦"'^' + ^^' + PP' "" ^'^'+ ^'')
|l m n f> j jr m' »' p'|
cos (ofc) — (/n'+ fi/') cos(ac) — (/p'+ pi') cos(ad) — (mn'-J- nm') cos(6c)
— (wp' -}- pm') cos (6d) — (fip' + pn') cos (cd)].
La condition de perpendicularitë des deux plans te présente sous la forme
//' + mm' + nn' + pp'
— (for + mV) cos (a6) - (/n' + nV) cos (ac) — (fp' + p/') cos (ar/)
— {mn* 4" wm') cos (6c) — (mp' -j- pm') cos (6d) -— (fip'+ pn') cos (crf) = o<
77. Déterminer l'expression de la distance d'un point à un plan. Considérons d'abord un plan représenté par l'équation
et soit (A' B' G' D') le point donné. Si on désigne par P la distance cherchée, un plan mené par le point (À' B' G' D') parallèlement au plan donné aura pour équation
Mais, comme il renferme le point donne, on doit avoir
A' B' G' D' ou bien, en vertu de la relation T-H-7- + r-+7-= — i,
Ai /it As Ai
On en déduit pour la distance cherchée
Ainsi, si on substitue dans le premier membre de l'équation
les coordonnées d'un point, on obtient un nombre positif ou négatif qui mesure la distance de ce point au plan qu'elle représente. Lorsque le plan est défini par l'équation
api A + bftB + cfzC + dpj> = o,
l'expression de P prend la forme
opi A^+ 6piB^+ cpiC'+ dp,D'
Enfin, pour le plan représenté par l'équation
/A + mB + nC + pD = o, on sait que
= — ^^< __ —3V/ — 3Vm
"^ "~ I /, m, ii,p j "~a j /, w, n, p j ' '^^ "" 6 | /, tw, w, p | '
— 3V^ ^ — 3VP .
cj/,tw, »,p|' '^* d|/,m,ii,p|'
en substituant ces valeurs dans Texpression de P^ on aura finalement
/A'+ mB'+ «C'+ pD'
P==db
T8. TVotiver fes ^^ruafton^ d'uMc droite menée du point (A' B' C D') perpendiculairement au plan /A + mB + «C + pD = o.
— no —
La droite cberchëc a des équations de la forme
A| As /a A4
Si on remplace les coefficients directeurs par leurs expressions données précédemment (N^ 75), il viendra pour les équations demandées
/ — m cos (06) — n cos {ac) — p cos {ad) m — / cos(a6) — n cos (6c) — p cos (6d)
n — /cos(o«)— mcos(6c) — pcos(crf) p — lcos{ad) — mcos(6cQ — ncos(cd)
Chacun de ces rapports est égal à p divisé par | /, m, 'i} p | ; en les multipliant respectivement par /, m, n, p, et ajoutant, on retrouverait l'expression précédente de la distance du point (A'B'G'D') au plan donné.
Exercices.
Ex. 1. Plans menés par les sommets du tétraèdre parallèlement aux faces opposées.
R. (I) 6B4-cC + dD = o, (2) aX + eC-\-dD = o,
(3) oA + 6B + dD = o, (4) aA-f-ftB+f:C = o.
Ex. t. Plans passant par un point (A'B'C'D') et les arêtes du tétraèdre.
