BC B'^ '^A
*^- Wc-^' B^"iy"°' r"~Â^~°'
Ex. S. Plans bissecteurs des dièdres des angles solides i, 2, 3, 4.
(3) A — B = o, B — D = o, D — A = oj
(4) A — fisBO, B — C = o, C— A = o.
Ils passent trois à trois par une même droite et ils ne forment que six plans distincts passant par un même point.
£z. 4. Conditions poar que le plan lA'\-tnB-{'nC + pD = o soii perpendiculaire aux faces du tétraèdre.
R. (i) / — m cos (ab) - n cos (ae) — p cos (ad) = o,
(2) m — / cos (ab) — n cos (bc) — p cos (6<J) = o,
(3) n - / cos (rtc) — m cos (6r;) — p cos (c«/) = o,
(4) p-^i cos (ad) — »/i cos (hd) — *i cos (cd) =: o.
Ex. ft. Plans menés par les arêtes du sommet i perpendiculairement à la face opposée.
cos (ae) cos (ab) * cos («6) cos (ad) ' cos (ad) cos [oc)
Ils se coupent suivant une même droite.
Ex. •. Les droites d'intersection des plans bissecteurs des dièdres extérieurs du sommet i avec les faces opposées sont dans un même plan. En effet, les plans bissecteurs étant
B + C = o, C + D = o, D-fB = o,
ils rencontrent respectivement les faces D, B, G suivant des droites qui appartiennent auplanB + C + D = o.
Ex. 9. Interpréter les équations
La première exprime que les plans
rencontrent les faces D, B, C suivant des droites qui appartiennent au plan qu^elIe représente.
De même les plans
rencontrent les mêmes faces suivant des droites situées dans les plans (|3) et (y). En ajoutant aux équations données celle de l'exemple précédent: B-^-C-^-D^Of on aura un système de quatre plans qui se coupent en un même point.
Ex. •• Plans menés par une aré(e et le miliea de l*aréte opposée. Pour les plant passant par les arêtes du sommet I, on trouvera
Af As As A4 A4 Af
ces plans se eoupent suivant une même droite. , Ex. •• Plans menés par les milieux des arêtes d*un même sommet.
Af At As A4
(a) -A + J?^R:=,o A» Al As A4
Al Aji As A4 '
Al Af As A4
Ex. !•• Plan passant par un point (Â'fi'G'iy) et perpendiculaire à la droite
(il X% >s ^4)»
R. (A-A')y,+(B-B')y, + (C-C')ys + (D-I>0f4 = o.
Ex. f i . Plans bissecteurs des plans
M + mB + nC + pD = o, ^ A + m'B + «'C + p'D = 0,
/A + mB + nC + pD l'A + m^B + n^C + //D ^ j/, »/*,♦», pj |r,m', n',p'|
Ex. «t. Plan mené par la droite
/A + wB + wC 4- ;)D = o, /'A + 7>/B + n'C -] p'D = 0, et parallèle à une autre droite {fit fif us fn),
/A + mB + »C+pD rA+m'B-1-nTH y'D
Ex. f t. Condition de rencontre des droites
/A + mB+fiC + pD = o, r'A + m"B + n"C+p"D = o,
fi.
l'n ^nt ^uf ^nt
Ex. 14. Plan passant par la droite
et parallèle a une autre droite Oki/xi/as/ai).
R. A fi G D =0.
Ai Af As A4 /Al /Ult /A6 /A4
Ex. «ft« Trouver les équations des hauteurs du tétraèdre et les coefficients directeurs de ces droites.
cos (a6)
COS (a6)
COS \aé) cos (ad) '
COS (/jc) cos \bd) '
cos(ar;) cos (6c) i *~ cos (cd) '
cos (o<^) cos (Ad) cos ((?dj
Si on pose (N068): ? = — o6dîj/<>, -flcdJsajÀj — qV», on sait que les
coeflïcients directeurs de la première de ces droites satisfont aux équations
ail ■\- 6>s -\- CÀ5 H- dA4 = o Mais, pour la hauteur /li, \x = i, et la dernière équation peut s*écrire
il (f>l — l8V«) 4- isî?2 + isf 5 + i4?4 = O.
Sn vertu de la première, on satisfait à cette équation en posant
f I — l8V« = — Aa, pj=— 46, ys = — Ac, ç>4 = — Ad;
OU bien, en y remplaçant 9)1, ^i, f g, ^4 par leurs valeurs
a (6dîj3ij + cdf3>3 + (WJ^)^) = Ara - i8V«
adU^t+OdU}^ + edUX^ = k.
En y ajoutant la relation a>i -f- ^)i + c^s4~^4 =o* ^'i^ ^ ^i^ nombre d*équation8 suffisantes pour déterminer ky /i, )t) h, ^4, en fonction des arêtes du tétraèdre.
Ex. !•. Trouver Texpression du volume d'un tétraèdre dont les sommets sont (AiBiCtDt), (A,B.C,D,^ (A8B.C3D3), (A4B4G4D4).
Si on désigne par (rtytZt)^ (a?iy«?t)« (^iVz'z)n (04^4^4) les coordonnées cartésiennes des mêmes sommets> et par v le volume cherché, on sait que
«1 Vt «1 1
!B» yt Zt I
X4 yt Z4 1
De plus, les différentes coordonnées tétraédriques sont les valeurs des premiers membres des équations des faces pour les coordonnées cartésiennes »i yi Zi, etc. Il s*ensuit> d'après la règle de multiplication des déterminants, qu*on aura Péquation
AtBtCtD, A,B,C,Ds A3 Bs Cs Ds
«1 Vt Zi I a*t Vt zi I
aPû yz Zz I a?4 y 4 Zi i
COS aj COS /Si COS */i 7i COS 91 COS ^t COS •/% TTs
COS «z COS ^3 COS ys ff3 COS a 4 COS ^4 COS 74 714
Désignons par L le second déterminant. Afîn de trouver sa valeur, substituons dans la relation fondamentale oA + 6B + cC + «^D = — 3V, aux lettres A, B, C, D, les polynômes en a?, y, 2^; comme elle doit avoir lieu quelles que soient ces variables, les coefficients de », y, z doivent être nuls et la quantité indépendante des yariables sera égale à — 3V. On aura donc
a COS «1 -j- 6 COS «I + c cos «5 + d cos a4 := o, a cos /Si + & cos ^s + c cos ^s-\-d cos /34 = o,' a cos vi + 6 cos yi 4- « cos ys + d cos 74 = o.
OTT, 4- ^ïTi + wtb + d7r4 = + 3V.
Les trois premières donnent
cos as ces «s cos a*
COS /^ C06 ^3 cos /S4
cos ys eos vs eos •/4
COS ai cos ocs cos ai cos fit cos ^3 cos ^4 cos 71 cos 73 cos 74
cos «1 cos «t cos a4 cos /Si cos ^s cos /94 cos 71 cos 7i cos 74
cos «1 cos «s cos as cos ^1 cos /9a cos ^s cos 71 cos 7a cos 75
awi + bn» + CW8 + dff4 + 3 V
Soit k la valeur commune de ces rapports; on aura : L = ■' ^ , et par suite,
A. Bi C, Di
A, B, Ca I),
As B3 Cs Dj
Pour calculer la valeur de k, faisons coïncider le tétraèdre donné avec le tétraèdre
2ubcd de référence. On trouve ainsi : k = — — ^ • Donc, il vient finalement pour Texpression
du volume cherché.
abcd 8IV'»
abcd
On peut encore remplacer ~-^ par
Al Bi Cl Di A, Ba C, Da A3 B, r« Dz A4 B4 C4 D4
81 V»' ht ht h^ h,
