COORDONNÉES DU PLAN; ÉQUATION DU POINT; PROBLÈMES

79. Considérons Tëquation du premier degré en x, y, z sous la forme

(i) ttx -{- vy '{' wz — i=o,

où UfVeito sont trois paramètres arbitraires. A chaque système de valeurs attribuées aux coefficients, elle représente un plan complètement déterminé de direction et de position dans l'espace. H en résulte que Ton peut regarder les variables u, v et w comme étant les coordonnées du plan défini par l'équation, puisqu'elles suffisent à sa détermination. Si on désigne par a, 6^ e les segments que le plan détermine sur les axes à partir de l'origine, son équation peut s'écrire

Bq comparant (i) et (i'), il vient

abc

De mémey si on identifie l'é^quation (i) avec x cos a -l^y cos /3 -^z cos y — p = o, on trouve aussi les relations

cos a = puy cos P = pv, cos y = ptr ; et, par suite,

Nous verrons plus tard que, si les variables k, v et u; satisfont à une certaine relation f{Uf v, w) => o, le plan de l'équation (i) se déplace suivant une loi déterminée, et engendre par ses intersections successives une surface à laquelle il reste tangent dans toutes ses positions. L'équation /!(«, Vy w) = o qui détermine les coordonnées d'un plan tangent quelconque, se nomme Véquation tangentielle de la surface. Les variables If, V et 117 ont reçu le nom de coordonnées tangentielles,

80. Équation du point. L'équation du premier degré par rapport aux coordonnées u, i? et ti? peut s'écrire

(2) lu -f- mv -f- ;iu? — I == o,

où /, m, n sont des constantes. Éliminons la variable w entre (i) et (2); il viendra

(«X — Iz) u -j- (ny — niz) v — >j -j- 2 == o :

équation en x, y, z qui renferme deux coefficients indéterminés; elle représente une infinité de plans qui ont en commun le point d'intersection des plans

nx — /z = o, ny — mz = o, n — 5 = o,

c'est-i-dire, le point dont les coordonnées cartésiennes sont : x = l, yr=tii, zc=sn. Ainsi, lorsque les variables ti, v et u? satisfont à une relation du premier degré de la forme (2), le plan mobile (i) passe par

un point fixe. Il s'ensuit que l'équation (2) peut être considérée comme étant la définition analytique d'un point de l'espace dont les coordonnées cartésiennes sont les coefficients des variables u, v et to. L'équation

(3) Att + Bu 4- Co? + D = o

se ramène à la forme (2), en divisant les deux membres par — D; elle représentera un point défini en coordonnées cartésiennes par les valeurs

Les équations Am + ^'^ + ^^o, Aii + Ctt7 + D=-o, Bi? + Cii7 + D = o

déterminent: la première, un point dans le plan des xy; la seconde, un point dans le plan des xz; la troisième, un point dans le plan desyz. De même, un point situé sur l'un des axes coordonnés sera défini par une équation de la forme

Ati + D = o, Bv + D == o, Cm? + D = o.

Les coordonnées du point représenté par l'équation (3) sont