cosf^4-2( a?— ](y r-T JCOSV — R«=o
* \ sinc/\ sin a/ ^ \ sinajy sin 6/
109. Sphère passant par quatre points. Soient (xii/{Zi), (artyt^t)» (^sysiSs)) {x^yAZé) quatre points de Tespace. Si la sphère définie par rëquation
x« + y« -j-z« + 2Gr + 2Hy + 2Kz-|- 1- = o doit renfermer ces points, on a les conditions
xj + yj + ^î + ^Gxi + 2Hyi + 2Kzt + L = o, xj + yj + «î + 2Ga?t + 2Hya + 2Kzt -f- L = o, a?î + yî + zj + 2Gxj H- 2Hy3 + aKzs + L = o, xj 4- yî -f- *î + 2^^* "f" 2^y* + 2l^4 + L = o.
L'élimination des paramètres entre les équations précédentes donnera pour l'équation cherchée
«^î+yî + *î
"l+yl + ^l
Xj
Xj
Zz
^î+yî+^î
Zi
Soient x, y, z les coordonnées du centre. On sait que x = -« G, y== — H, zs=s — K, et, par suite, ces coordonnées satisfont aux équations
^î + yî + «î — 2xxi — 2yyi — 2z«i + L = o, xj + yî + zj — 2XX, — 2yy« — 2zz« -|- L = o, «8 + yî + «î — 2«a;s — 2yy3 — 2ZZs 4.1 = 0, *î +yî + *î — 2^^4 -— 2yy4 — 2ZZi 4. L = o.
En retranchant ces équations membre à membre, on trouverait six équations de la forme
2(xi — x,)x4-2(y, — yf)y4-2(2, — Z4)«+^î — xî+yî—yî+zj— zî=o
qui représentent six plans passant par le centre de la sphère; celle-ci est satisfaite par les coordonnées
xi + X, yi + ys
et les cosiqu^ directeurs de la normale au plan étant proportionnels
à xi — xt) yi — t/ti ^1 — iZs> il sera perpendiculaire à la droite des points (Xiy\Zi), (^tys^i)- Les autres équations donneront lieu à des remarques semblables et on arrivera à ce résultat : que les plans perpendiculaires aux arêtes du tétraèdre des points donnés et passant par les milieux de ces droites se coupent en un même point qui sera le centre de la sphère circonscrite.
