GÔNB CIRCONSCRIT A LA SPHÈRE; PLAN TANGENT ET PLAN POLAIRE
110. Cône circonscrit. Une droite est dite tangente k la sphère, lorsqu'elle rencontre cette surface en deux points qui coïncident. Soit S (x'y'z') un point donné; proposons-nous de trouver le lieu des tangentes à la sphère
issues de ce point. Menons par ce dernier une droite quelconque et soient rx;'% y"^ z" les coordonnées d*un second point de cette ligne. Celles d*un point variable (x, y^ z) de la droite sont données par les formules
x'-i-ir" .y' + V z'^^-lz''
Substituons ces valeurs dans l'équation de la sphère; il viendra, en développant,
Posons^ pour abréger,
C = x« +j/« + ^« - rj, P' = xV -\-yY + ^'^"-'•;>
et désignons par C% €" les valeurs de G pour les coordonnées des deux points (x'y'z'), (x"y"z"). L'équation précédente peut s'écrire
Elle détermine les valeurs de A pour les points de rencontre de la droite avec la sphère. Mais, si la sécante issue du point [x'y'z') est tangente k la surface, Téquation doit avoir des racines égales, et, par suite,
Cette relation sera satisfaite par les coordonnées x'\ y'\ z" d'un point choisi à volonté sur une tangente quelconque issue du point S. tl en résulte que le lieu de toutes les tangentes ou le cône circonscrit ayant pour sommet le point (a/jfV) sera représenté par Téquation
(i) (a;x'+yy'+zz'-r;)« -(x'»+y'*+z'=- r;)(x«+y«+z«-r;)=o.
Si on applique la même méthode & la sphère définie par l'équation
(« — o»)» + (y — to)* + (« — «•)' — '"o = o» on trouvera sembUblement pour le cAne circonscrit
(2) [(X — oo) (x' - a,) -1- (y — t.) {y' - 6.) + (z - c.) (z' — c) — r*]» - [(«' - ««)* + (y' - *.)• + (2' - c«)» -rj] [(x - «.)'+ (y - 6,)'
On peut transformer les équations précédentes au moyen de l'égalité
(X - X')» 4- (y -y')' + (« - z')' = x« +y' + z» - r) + a.'* + y" + 2" - r J - 2 (XX' + yy' + zz' - r»).
On en tire
'*' +yy' + «*' - r; = ^ [c + c- (X - X')» - (y - y)»- (« - «')*]•
et, en substituant, l'équation du c4ne circonscrit prendra la forme
(3) [C + C - (X - X')» - (y - yj - (z - z'j']» - 4CC' = o.
Bile a lieu aussi lorsque la sphère est représentée par l'équation (x — tto)' -|- (y — 60)* + (z — Cg)* — r J = o, en supposant que 0 et C désignent les polynômes
(x-a.)'-Hy-6.)'+(z-f.)'-r;, (x'-a.)»+(y'-6.)'4-(z'-.c.)'-r;;
car, de l'égalité
[jc - a« — (i' — a«)]» + [y — 6, — (y' — 6«)]» + [2 — c, — (z' - c,)]«
+ (y - 60) (y' - 6.) + (2 - co) (z' - c.) - rj],
on tire
Celte relation permet de mettre Téquation (2) sous la forme (3).
111. Plan tangent. Le plan tangent à la sphère en un point {oify'z*) est le lieu de toutes les tangentes à la surface passant par ee point. On trouve immédiatement Tëquation de ce lieu, en appliquant celle du cône circonscrit (i) au cas où le sommet est sur la sphère. Dans cette hypothèse, 3(:'*+j/'*4'^'' "~ ''0 =o« et, on aura, pour le lieu des tangentes menées par le point (»'y V) à la sphère x* +y" -|- «* — rj = o, réquation
(4) xx'+yy' + zz' — rJ==o.
On y arrive aussi directement par la méthode suivante. Menons par le point {x'y'z') une droite quelconque définie par les égalités
Substituons ces expressions dans Téquation de la sphère
^* + y + ^*-^»'î = o- Il viendra^ en développant,
équation qui détermine les distances des points d'intersection de la droite avec la sphère au point {x'y'z'). Mais, ce dernier étant sur la surface,
x'*-['2/''"i"^'^ — ''o = ^ï e^ réquation a une racine nulle; de plus, si la droite est tangente h la sphère, les points d'intersection coïncident et la seconde racine sera égale à zéro; ce qui exige que Ton ait :
/ap' + pty' -|- v«' = o.
En éliminant A, pi, v au moyen des équations de la droite, on trouve pour le lieu des tangentes ou le plan tangent h la sphère au point {!xfy*z% l'équation
c'est-à-dire,
^^'+y.y' + ^2' — rJ = o,
cil ëgard à la relation x" +y'* + «" = r^. Lorsque la sphère est représentée par Tëquation
(r - a,)' + (y - ft.)' + (z - r.)' - rj = o.
celle du plan tangent sera de la forme
(s) (x-(i,)(x' --a,) + (y~6o)(y'-6o) + (z-~ro)(z'-co)-rî = o.
Enfin, d*après la transformation du numéro précédent, on peut remplacer les équations (4) et (5) par la suivante :
119. Plan polaire. Le cane circonscrit représenté par Téquation (xx'+yy'+zz'-r;)«-(x"+y^+je'«-r;)(x» + y« + z«-rî) = o, touche la sphère suivant une courbe située dans le plan
(P) XX' +yy' + ;rz' — rj «= o;
car les coordonnées d*un point de cette courbe annulent le polynôme x' +2/* + ^* — '"Îj ®^ P^"* conséquent, elles doivent vérifier la relation précédente. Le plan (P) qui passe par la courbe de contact du cône avec la sphère se nomme le plan polaire du point {x'y'z'), et ce dernier, le pôle de ce plan par rapport à la sphère.
Quelles que soient les valeurs de x', y', z' aussi longtemps qu*elles sont réelles, Téquation (P) représente un plan déterminé et réel. Le plan polaire d'un point de l'espace existe donc toujours quelle que soit la position de ce point, même s'il se trouve à l'intérieur de la sphère et si le cône circonscrit est imaginaire. Lorsque le point (x'yV) est sur la sphère, Téquation (P) repi*ésente le plan tangent en ce point i la surface, et réciproquement, un plan tangent aura pour pôle son point de contact.
Étant donnée l'équation d'un plan
Ax + By 4- Cz = D, on déterminera le pôle correspondant par rapport à la sphère
x*-^y*-\-z* — ''0 = 0, en identifiant cette équation avec celle du plan (P). On arrivera aux relations
d'où
ri D'
rî D'
Ar-
Br*
Les coordonnées du pôle sont infinies, si D = o; elles sont nulles, si Ae=B = G = o. Ainsi, le pôle d*un plan passant par le centre est à rinfini, tandis que celui du plan à Tinfini coïncide avec le centre de la sphère.
lis. Construction du plan polaire. Soit p le point qui a pour coordonnées x' y* z' et 0 le centre de la sphère
La droite qui réunit le centre au point p est déterminée par les équations
et, par suite, elle est perpendiculaire au plan polaire représenté par
(P) xx' + »/!/' + zz' — rJ = o.
Soient p' le point où le plan P rencontre la droite 0/>; la longueur Op' sera la distance & l'origine du plan polaire, et on aura la relation
d'où
Op-Op' = ?'J.
Donc, le rectangle construit sur les distances du centre de la sphère au pôle et au pian polaire est constant. 11 résulte de ce qui précède, qu'étant donné un point p, le plan polaire correspondant s^obtiendra
en menant à une distance Op' s= -pdu centre un plan perpendiculaire
à la droite Op. Cette construction indique que le plan polaire d'un point à rinfini sur une droite issue du centre sera le plan mené par ce dernier perpendiculairement à la droite.
114. Le plan polaire est le lieu du conjugué harmonique du pôle par rapport aux points d'intersection avec la sphère d^une sécante variable issue de ce point.
En effet, menons par le point {x'y'z') une sécante quelconque, et cherchons les points où elle rencontre la sphère. On aura
x' + lx" y' + V z' + }.z"
où X est Tune des racines de l'équation (N** MO)
Supposons que le point {x''y"z*') coïncide avec le conjugué harmonique du point (x'y'z') par rapport aux points d'intersection de la sécante et de la sphère. Dans cette hypothèse, l'équation précédente doit avoir des racines égales et de signes contraires; par suite,
P' = o, ou .T'x" + yy' + «V — rJ = o.
Cette relation devra être satisfaite par les coordonnées du conjugué harmonique du point (x' y* z') quelle que soit la direction de la sécante. Il en résulte que le lieu de ce point sera représenté par l'équation
xx' + yty' + jr£' — r J = o
obtenue en supprimant les accents des coordonnées x", y", x". C'est précisément le plan polaire du point (x'y' je').
115. Si on mène un plan Q par le pôle d'un plan P représenté par l'équation
(P) xx'+yy' + x2'^rJ = o,
son pôle (x" 2/" z'') se trouvera dans le plan P. Car le plan Q a pour équation
(Q) xx"+yy" + zz"^rJ = o,
avec la condition
x'x" +yY + 2'«" — rj = o :
relation qui exprime aussi que le point (x"y"z") appartient au plan P.
Celte propriété peut encore s'énoncer ainsi : le plan polaire d'un point p situé dans un plan Q passe par le pôle de ce dernier. Lorsque le plan P tourne autour d'une droite D, son pAle décrit une autre droite D^ En effet, soient p et p' deux points de la ligne D; les plans polaires correspondants P et P' se couperont suivant une certaine droite D'; tout plan mené par la droite D passant par les points p etp' doit avoir pour pôle un point situé à la fois dans les plans P et P', c'est-à dire qu'il se trouvera snr la droite D'. Réciproquement, si le pôle décrit une droite D% le plan polaire tourne autour d'une droite D; car, p et p' étant les pôles des plans P et P' passant par D% le plan polaire d'un point quelconque de cette droite renfermera les points p et p\ et, par conséquent, il passera par la droite D. Deux droites, telles que D et D', qui jouissent de la propriété d'être chacune le lieu géométrique des pôles des plans passant par l'autre, se nomment droiten conjuguées par rapport i la sphère; chacune d'elles est la corde des contacts des plnns tangents & la sphère menés par l'autre, puisque les points de contact ou les pôles de ces pians doivent appartenir i la conjuguée de leur droite d'intersection.
Enfin, il est utile de remarquer que le plan polaire du point d'intersection de trois plans sera le plan déterminé par leurs pôles; réciproquement, trois points quelconques d'un plan ont des plans polaires qui se coupent au pôle de ce plan.
116. Étant donnii deux points p et q ainsi que leurs plans polaires P 6( Q par rapport d une sphère de centre 0, si on abaisse des points p et q tes perpendiculaires pr^ qs sur les plans Q et P, on aura la relation
Op Oq
pr^qs'
Pour le démontrer, soient x'y'z'^ af'y"z" les cordonnées des points p et f ; les plans polaires P et Q sont déGnis par les équations
(P) XX' -f yif + zz' — rj = o, (Q) xx"+yy" + i3z"-rî = o.
Gela étant, la loagueur de la perpendiculaire abaissée du point p (x'yV) sur le plan Q aura pour expression
De même, il viendra pour l'autre perpendiculaire qs
a/x"' + yy ^ + z'z'' — rl xV^+ y^y^^+ z'z" — rj
On en déduit
pr • O9 =» 7< • Op,
et; par suite.
Op O9
ItT. Nous avons considéré jusqu'ici le plan polaire d'an point par rapport à la sphère
il est évident, d'après les développements qui précèdent, que le plan polaire d'un point {x'y'z') par rapport à la sphère
(x — ao)* + (y-6oJ« + (« — Co)« — r; = o
sera représenté par une équation de la forme
{x — ao) (x' — Qo) + (y — 60) (y' — 60) + (« — Co) («' — Co) — rj « o,
ou bien, en désignant par G le premier membre de l'équation de la sphère,
On pourrait démontrer aussi les différentes propriétés du plan polaire au moyen du ces équations.
Le plan polaire de l'origine sera
oox + 6oy -j- Co« — oj — 6; — cj + rj = o, ou bien,
