ÉQUATION DE LA SPHÉRB EN COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQCES

11 §. Considérons une sphère de rayon R rapportée & un tétraèdre iS34. Soient O(A'B'C'D') le centre, et M(ABCD) un point de la surface. D*après la formule (N® 63) qui donne la dislance de deux points, il viendra pour l'équation de la sphère en coordonnées tétraédriques

<p (AB) + 9 (A'B') — 9 (AB' + BA') — R»,

ou bien,

(i) (f (AB) — 9 (AB' + BA') + 9 (A'B') — R« = o.

Afin de rendre l'équation homogène, multiplions le second terme par Texpression

et les deux derniers par le carré de cette quantité. L'équation se présentera sous la forme

(1) ^(ABj + ^^+i+i+^^WAB'+BAO

La quantité entre crochets est une certaine fonction homogène du premier degré par rapport à A, B, C^ D. Posons

(I) (9AB'+BA')+(^ + ^^+^+^J (9(A'B')-.R>)=-(/A+mB+nC+pD).

n Tiendra finalement pour l'équation homogène de la sphère en coordonnées tétraédriques

(») ç(AB)-(^+^+^+JJ(/A + mB + «C + pD)

ou biea, ea remplaçant 9 (AB) par sa valeur (N* 65),

(3) rr AB +rr AC + rr- AD +rrBC+p;-BD + ,^ CD

^'" hiht /11A3 h,ht hthi AtA* AsA«

+ mB + wC+pD) = o.

Elle renferme quatre paramètres variables /, m, n, p qui, d'après rideotité (I), sont des fondions des coordonnées du centre et du rayon de la sphère. La première partie de cette équation, c'est-à-dire (p(AB), est indépendante des quantités A', B\ C, D', R; elle sera la même pour toutes les sphères. Nous verrons bientôt que la fonction 9(AB) égalée à zéro représente la sphère circonscrite au tétraèdre; il en résulte qu'une sphère quelconque définie par l'équation (3} est rencontrée par le plan à l'infini suivant un cercle imaginaire ayant pour équations

?(AB) = o. -+^-+-+- = 0.

Donc toutes les sphères passent par un même cercle imaginaire à l'infini.

Réciproquement, toute équation de la forme (3) représentera une sphère. En effet, connaissant le second membre de l'identité (I), on exprimera que les coeflScients des variables sont égaux; on aura ainsi quatre équations qui ajoutées k la relation fondamentale

sufiBsent pour déterminer les valeurs de A', B', C, D' et R. On pourra ainsi ramener l'équation (3) à la forme (i') ou & la forme (i) qui exprime la propriété caractéristique d'une surface sphérique.

llf^. Trouver les conditions pour que l'équation générale du second degré représente une sphère.

L'équation générale du second degré en coordonnées tétraédriques est de la forme

(a) «H A« + awB» + agjC» + a44D* + 2a, ,AB + aa^AC + 2ai4AD

+ 2aMBC + 2at4BD + 2ai4CD =-= o.

Pour qn'elle représente une sphère, il faut et il suffit qu'elle puisse se ramener à la forme

Comparons cette équation avec la précédente, et égalons les coefficients des rectangles. II viendra les égalités

Si ces relations ont lieu, les équations (a) et (a') sont identiques puisque les coefficients des carrés des variables sont égaux. On obtiendra les conditions demandées, en égalant les valeurs de A: tirées de ses égalités : on trouve ainsi

aghl -f- auh\ — 2aiJiiht agh] + atJi\ — 2a«&<A> flnAf "j" ^<J^l — ^(»i*hihé

dithl + ass^l — aatsAf As astAJ -f- 044AÎ — 2ai4AtA4 ajsAJ + 044AÎ — 2aiAhzh4

"fS "f4 "54

Il faut remarquer que l'équation («') exprime que la section de la surface par le plan à Tinfini est un cercle imaginaire; de sorte que toute surface du second ordre qui passe par le cercle imaginaire de l'infini est une sphère.

190. Trouver F équation de la sphère circonscrite au tétraèdre de référence.

Si on exprime que la sphère définie par IVquafion (3) passe par le sommet i ( — h\^ o, o, o) du tétraèdre, il vient Ihi bso, et^ par suite, / «= o. De même, si elle passe par les autres sommets^ il faudra que

les coefficients m, n, p soient nuls. Il en résulte que rëquation de la sphère circonscrite au tétrnèdre sera de la forme

Soient A', B', C^ D', R les coordonnées du centre et le rayon de cette sphère. Les formules qui donnent les distances d'un point de l'espace aux sommets du tétraèdre (N^ 64) conduisent aux égalités

9 (A'B') - (^ A' +^ C + ^ D') = R«, ç (AV) — fÇi A' + $i B' + $i D'^ = R»,

\ At *« *4 /

Mais, diaprés la relation (V) (N* 64), on a

Bn substituant, la première des équations (A) devient

At Ai A4

ou bien,

Si on transforme semblablement les autres égalités (A), on pourra les écrire sous la forme

2R.^+ (2R. dî.)i'+(2R»- dî.)|+ (2R' - d*,)j.^ O.

(2R»- dU) ^+ aR* 2-| + (2R»- dî.) ^ (aR»- d\,) Jl= o,

(aR« - dî.)i'+ (2R« - dî,)^+ «R»^ + (2R»

dU)T

(2R«-rfî.)^V(2R«-rfî,)^+(aR'-«/î.)^V*R*^=o.

Ces ^ualiong permettent de déterminer les eoordonn^es du centre et le rayon R. L'élimination de A', B', C, D' donne, pour calculer B, Péquation

— rf»^ 2R*—

ou bien, en retranchant la première colonne de celles qui suivent.

2R»-rfî, dU-dU 2R»— dî. di.—d*^

d\-dl.

-dl

dU-dl,

dU-d\,

D'où on déduit