CHAPITRE VII

SPHÈRE (suitb).

SoMMAiftB. — Syslème de deux tphkreê\ plan radical, Sphère$ ayant même plan radical. Centre de similitude, ^-^ Syêlème de trois sphères; aœv radical; centres de similitude. -^ Système de quatre sphères ; centre radical. Sphères tangentes à quatre sphères données,

% 1. SYSTèMB DB DBtn SPHÈRES.

IM. Considérons les deux sphères définies par les équations

(o) {x — a^y + (y — 60)' + (« — ^0)' — ''S = o> (i) (X — a,)« + (y — 61)" + (« - Cl)* — rj = o,

que nous écrirons, pour abréger,

(o) Co = o, (i) C, = o.

Si on reti*anche membre à membre ces égalités, on trouve Téquation du premier degré

(2) Co — C,==:0,

ou bien (2) {a,^a.)x^A,h,^h,)yMci-'t,^z^''^'^^^^

elle représentera un plan qui renferme les points communs aux deux sphères. D'après la signification du premier membre des équations (o) et (i), chaque point de ce plan a la même puissance par rapport à ces surfaces, c'est-à-dire que les tangentes menées d'un point du plan

aux sphères sont égales. Le plan qui jouit de cette propriété s'appelle le plan radical des deux sphères.

La droite des centres ayant pour équations

X — fio y — 60 z — Co ai — flo bi — 60 Cl — Co

on voit que le plan (2) est perpendiculaire à cette droite. Lorsque les sphères se rencontrent, le plan radical est celui qui passe par leur cercle d'intersection; si elles se touchent, c'est le plan tangent h l'une et & l'autre au point de contact; en6n, si elles ne se rencontrent pas, le plan radical existe toujours et passe par les milieux des tangentes communes. Dans le cas particulier de deux sphères concentriques, on a ao = ai, 60=^61, Co = Ci9 et réquation (2) se réduit à une constante égalée à zéro; le plan radical est alors à l'infini.

ISO. Sphères de même plan radical. L'équation

(3) Co — XCi=o

peut se ramener à la forme de celle d'une sphère en coordonnées rectangulaires ; elle est satisfaite par les points d'intersection des sphères (o) et (i), quelle que soit la valeur du paramètre X; elle définit donc un système de sphères ayant le même plan radical, le plan du petit cercle commun aux sphères Go = 0^ Ci = o. Les coordonnées du centre de l'une des sphères du système (3) seront

Go — Xoi bo — Ibi Co — Aci

*=-T:rr' y = Tirr' " = 1— T'

L'élimination de X entre ces égalités conduit aux équations

X — ao y — 60 « — Co .

fli — flo bi — ho Cl — Co

donc les centres des sphères (3) sont situés sur la droite des centres des sphères (o) et (i).

Afin de simplifier, prenons le plan radical pour celui des j/z, et la droite des centres pour axe des x. Une sphère quelconque du système sera définie par une équation de la forme

Développons, et posons m* = p* — r* ; on aura

(5) x' 4" y* -|" X* — 2fAX -\-m* = 0,

où fA désigne la distance du centre à l'origine. Le premier membre de cette équation se réduit k m* pour les coordonnées de l'origine : la quantité m* sera une constante qui représente la puissance de l'origine par rapport à une sphère quelconque de la série* Lorsque les sphères se coupent, la différence fA* — r^ est négative, et il faut attribuer le signe négatif à m* dans le premier membre de l'équation; dans le cas contraire, la quantité m' doit être affectée du signe positif. Dans la première hypothèse, la grandeur m = |//a* — r* est imaginaire, tandis que dans la seconde elle est réelle.

Dans le cas particulier où fAs=dbtn, le rayon r est nul; les sphères correspondantes se réduisent à deux points de l'axe des x situés k égale distance du plan des yz ou du plan radical. Ce sont les sphères limites du système ; elles sont réelles, si les sphères ne se rencontrent pas, et imaginaires, si elles se coupent suivant un cercle.

fSI. Les plans polaires d'un point fixe par rapport d un système de sphères de même plan radical passent par une même droite.

En effet, le plan polaire d'un point {x'y'z') par rapport à une sphère quelconque de la série est représenté par Téquation

(x — p) ix' — fx) + t/y' + zz' -^ r« == o, ou bien

xx' -|-yt/' + ««' — fi (a: + x') + m* = o.

Quelle que soit la valeur du paramètre /x, ce plan renferme la droite d'intersection des deux plans

^•^' +yy' + zz' + m* = o, X + x' = o;

donc les plans polaires passent par une droite fixe. Si le point {jf y' z') appartient au plan radical, la coordonnée x' est nulle, et les plans polaires se rencontrent suivant une droite dans ce plan. Pour le point limite (m, o, o), les équations précédentes se réduisent à une seule x -f- m = o ; de même pour le point ( — m, o, o), on aura x — m =3 o. Ainsi, le plan polaire d'un point limite est invariable et passe par l^autre point limite.

1S9. Si d'un point du plan radical on mène des tangentes aux sphères de même plan radical définies par l'équation

Co — AC| =3 o,

le carré de Tune d'elles aura pour valeur

Co — AC|

car les coordonnées d'un point du plan radical satisfont à l'égalité Go >=s Cl • Il en résulte que toutes les tangentes ont même longueur et leurs points de contact appartiennent k une sphère dont le centre est le point considéré, et le rayon, la longueur commune des tangentes; cette sphère passera par les point limites, car les droites qui joignent ces derniers au centre doivent être regardées comme tangentes à ces sphères évanouissantes. On doit donc considérer le plan radical, comme le lieu des centres d'un nouveau système de sphères jouissant de la même propriété et passant par deux points fixes de l'espace.

ISS. Centres de similitude. Soient deux sphères Cos=o, Ci = o dont les centres sont les points représentés par les équations

Ao = aou -|- 6ot? -|- cqW — I «= o, Af == aiti + biV -\- dw — i = o;

les cônes circonscrits communs, Tun extérieur et l'autre intérieur, ont leurs sommets S et s sur la ligne des centres. Plaçons Torigine des axes coordonnés au point S, et prenons la droite des centres pour axes des x. Le plan des xz rencontrera les sphères suivant deux cercles ayant pour centre extérieur de similitude le point S; on aura entre deux points homologues A et a, la relation

Sa r^ d'où

(a) SÂ = *.Sa,

k étant le rapport de similitude des cercles. Mais, le plan des xz est quelconque et doit seulement passer par la droite des centres; la relation précédente aura donc lieu pour deux points quelconques A et a des deux sphères situés sur une droite issue du point S, et, par conséquent, elle

permet de passer de l'une à Tautre quand on connaît la valeur de la constante k. Le point S se nomme le centre extérieur de simUitade des deux sphères; le point 9, qui jouit des mêmes propriétés, est le centre intérieur de similitude.

Il résulte de la similitude de deux cercles dans un plan, que les points S et s divisent harmoniquement la distance des centres; de plus, les rayons qui aboutissent aux points homologues sont parallèles. Le centre extérieur de similitude s'obtiendra en menant deux rayons parallèles et dirigés dans le même sens, et en joignant leurs extrémités par une droite qui rencontrera la ligne des centres suivant le point S ; le centre intérieur de similitude se construit de la même manière avec deux rayons parallèles et dirigés en sens opposé. Il s'ensuit que les points S et s existent toujours, même si les sphères sont intérieures et si les càncs circonscrits communs sont imaginaires.

184. Trouffer les coordonnées des centres de similitude des sphères Co = 0, C| s^ o.

Nous savons que ces points divisent harmoniquement la distance des centres définis par les équations

Ao = o, Ai = o;

par suite, ils seront représentés par des équations de la forme

(S) Ao — fcAi = o, («) Ao + A:Ai=o,

Le paramètre k est égal au rapport des distances du point S aux centres

des sphères; comme ce dernier équivaut à— > on aura pour les équations

des centres de similitude

,-. Ao Al Ao , Al

To Ti To /i

On en déduit pour les coordonnées rectangulaires de ces points

00 at 6o b^ Cq Ci

r© ri ro ri r© ri

ro ri ro ri ro ri

ro"*"ri ro ' ri ro"*"ri

ro * n ro'*"ri ro * fi

bu bien

tS5. TVotiver /e« ^uaftons des cônes cireoHserits communs aux sphères Co «= o, Ci = o.

Si on désigne par x\y'yZ' les coordonnées du sommet d'un cAne circonscrit à la sphère Co »= o, son équation est de la forme

[{x — ao) {x' — oo) + (y — 6o) (y' — 6o) + (« — Co) {z' — Co) — rj]* - Co [(x' - ao)« + (y' - 6o)» + {z' ^ Co)« - rj] = o.

Remplaçons rr', y', z' par les coordonnées du point S; il viendra

— Co [o7* — (ri — ro)"] = o,

01 désigne la distance des centres des sphères. On peut transformer cette équation, eu égard à la relation

-(Cl — Co) = (ao — ai) X + (60 — 6i)y + (co — Ci) z

car, en développant la quantité élevée au carré dans l'équation, on trouve qu'elle est égale à

(ao — ai) a? + (60— 6i) y + (co — Ci) z — aj + aoai — 6J + 6061 — cj + CoCi — ron + rj = - [Cl — Co — ôi* + (r, — ro)'];

par suite, l'équation du cône circonscrit qui a son sommet au centre extérieur de similitude sera de la forme

[C, — Co — ÔT + (r, — ro)"]* — 4C0 ï^* — (ri — ro)"] = o.

On trouverait semblablement pour le cAne qui a son sommet au centre intérieur de similitude

[C, — Co — oî* + (ro + rO^« — 4C0 [ôï* — (r, + ro)»] = o.

f S0. Trouver le$ équations des plans polaires des centres de simili' iude par rapport aux deux sphères Co «= o, Ci = o.

Le plan polaire d'un point {x^y'z') relativement à la sphère Go = o est représenté par

(x — Oo) (x' — ao) + (y — fro) (y' — 60) + (« — Co) (z' — co) — rj = o.

Remplaçons x^yy\ z\ par les coordonnées du point S. D'après la transformation précédente, Téquatîon du plan polaire du point S par rapport à Co pourra se mettre sous la forme

Cl -- Co — fox' — (ri — ro)*] = o.

Celle du plan polaire du même point par rapport à la sphère Ci =3 o sera

(x-a0(x'-.ii,) + (y~60fy'-64) + (z-c,)(t'~c0-rî=o,

ou bien

C, — Co + [ôï*— (r, — ro)*] = o.

On trouvera également, pour les plans polaires du centre intérieur de similitude par rapport aux deux sphères, les équations

Cl - Co - î^' - (ro + r,)'] = o, Cl - Co + ï^' - (ro + ri)*] = o.