SYSTÈME DE TROIS SPHÈRES

flS7. Considérons les sphères représentées par les équations

(o)Co = o, (i)C, = o, (2)C, = 0, et dont les centres sont les points

Ao = OoU -f- 60» 4" CoW — I == o,

Al .= aiu + 64» -|- CiVo — T = o, At = a%u -f- btv + Cjtt7 — 1=0,

— 18ÎÎ —

Les plans radicaux de ces sphères prises deux à deux ont pour équations

Co — C« = o, Cl — Cï = o, C% — Co = o :

la dernière étant une conséquence des deux autres, les plans radicaux passent par une même droite. Cette droite se nomme Vaxe radical des trois sphères (o), (i), (2). Les coordonnées d*un point quelconque de Taxe radical vérifient les égalités

Co = Ci = Cî,

et, par suite, les tangentes menées de ce point ont la même longueur. Donc, l'axe radical est le lieu des points de l'espace qui ont la même puissance par rapport aux trois sphères. Comme les plans radicaux sont respectivement perpendiculaires aux droites qui joignent les centres, l'aide radical sera perpendiculaire au plan des centres. Supposons que la sphère Cs=3 0 soit variable de grandeur et de position dans l'espace; elle rencontrera les deux autres suivant des cercles dont les plans se couperont toujours dans le pian radical des sphères (o) et (i). Dans le cas particulier où elle serait tangente aux sphères (o) et (i), les plans tangents communs jouiront de la même propriétés

IM. L'équation

(4) Co + XC,+fzCt = o

définit un système de sphères qui ont le même axe radical que les Sphères Co, Ci, Ct; car, si d'un point quelconque de la droite ayaùfc pour équations

Co = Cl = Cî,

on mène une tangente à l'une des sphères (4), Tcxpression

Co + ACi + fiCi i + ^ + F qui représente le carré de cette tangente se réduit à

= Co»

Il en résulte que la longueur de cette droite est indépendante des valeurs attribuées aux coefficients arbitraires A et fx, et tous les points

de Taxe radical €o =s Ct = Ct auront même puissance par rapport à toutes les sphères du système.

Les coordonnées du centre de Tune des sphères (4) ont pour expressions

Qo -|- iai -|- juiot 60 + ^f>i "h l^t Co -H ÀCi 4- fjici

On en déduit en chassant les dénominateurs

(x — flo) + A (x — a,) + |ut (x — at) = o, (y-.6o) + i(y — 60+p(y — 5,)=o,

(« — Te) + ^ (« — Cl) + 1^ (« — <?t) = o.

L'élimination des paramètres A et jul donnera, pour le lieu des centres» réquation

ou bien

X — Oo X — ai X — ai y^bo y — 61 y — 6j

I Z — Co Z — Cl Z — Ct

ao ai ot I

fro 6f h% I

Cq Ci Ct I

«'est le plan des centres des sphères (o), (i), (2). Il rencontre celles-ci suivant trois grands cercles dont les axes radicaux vont concourir aq pied de Taxe radical des sphères.

tS9. Les plans polaires d'un point fixe par rapport aux sphères de même axe radical passant par un autre point fixe.

Soient x% y% z' les coordonnées d*un point donné; les plans polaires par rapport aux sphères (o), (i), (2) sont représentés par les équations

Po= (X — ao) (x'— ao) + (y — 60) (y' — 60) + (« — co) («'— ro) — rj = o, p, = (x — ai) (x'— ai) + (y — 6|) (y'— 6,) + (z — Ci) («'— Ci) — rJ — o, Pt= (x — at) (x'— a,) + (y — 6t) (y'— 60 + (« — c.) («'— ct) —r\ = o. Or, si on forme l'équation du plan polaire do même point relativement

à une sphère (4), on trouvera

Po -f /Pi + pPî = o

qui est vërifiée par les coordonnées du point d'intersection des plans Po, P4, Pt quelles que soient les valeurs des paramètres X et fx; donc tous les plans qu'elle représente passent par ce point. Ce dernier est réciproque du point donné, e'est-à-dire que ses plans polaires relativement aux sphères du système passeront par la point {x'y'z').

Un point de l'axe radical a pour réciproque un point de cet axe. En effety les équations des plans polaires peuvent se mettre sous la forme (NM 17)

Co + Co' — (x-x')* — (y-2/')« — (z -z')^ = o,

Mais^ si le point (x' y^ z') est sur Taxe radical, on doit avoir

Co' = Cl' e=Cj';

par suite, son réciproque, ou le point d'intersection des plans qui précèdent, satisfera aux égalités

Co ^= C| e=ï Cf

et appartiendra aussi à Taxe radical.

140. Centres de eimUUude. Les trois sphères Cos=o, Ci«=o, Cf=:o, prises deux à deux donnent six centres de similitude situés respectivement sur les côtés du triangle 012; les équations de ces points seront de la forme

(So) T~':r=^* (SO T" — T- = 0' (s«) T^V ^'

NA| I Afl . . As , Aq Ao I Al

...77+7, = °' ^*'^ û^7r°' ("^ rT+rT=°-

Les trois premières conduisent à Tidentité

et, par suite^ les centres extérieurs de similitade sont en ligne droite. De plus, on en déduit encore

Donc, deux centres intérieurs de similitude sont en ligne droite avec Tun des trois centres extérieurs. Ainsi les six centres de similitude d'un système de trois sphères sont situés trois à trois sur quatre droites appelées axes de similitude. Ces droites appartiennent évidemment au plan des centres des sphères.

Les équations précédentes permettent d'écrire immédiatement les coordonnées rectangulaires des centres de similitude. En particulier, celles des points So et Si seront

r« — ri rt — n

5tro — 6ort cjro — Cort

X| t= , y, = , Zi= •

ro — r« ro — r« ro — r«

On sait que les cosinus directeurs d'une droite qui passe par deux points sont proportionnels aux différences xt — xo, yi — yo» Zi^Zo; il résulte des expressions précédentes, que les cosinus directeurs de Taxe extérieur de similitude seront respectivement proportionnels aux quantités

ro (6i — 6i) -|- r^ (6t — 60) + ri (60 — 64),

Enfin, nous ferons encore observer, que les coeGScients des variables Xf yeXz dans Téqualion du premier degré

ro {C^ — Ct) + n (Ct — Co) + r, (Co — Ci) = o

sont précisément les mêmes quantités, et, par suite, elle représentera un

airt —

a«ri

rt —

atro —

aorj

plan passant par l'axe radical et perpendiculaire & Taxe extérieur de similitude.

141. Trouver tes éqttations des droites conjuguées de l'axe extérieur de similitude par rapport aux sphères Go = o, Ci = o, Ci »= o. Nous avons trouvé (N"" 156) pour le plan polaire du point

r© fi

par rapport à la sphère Co = o, l'équation

(a,) Co — C, + [^'— (r„ — r,)*] = o. Le plan polaire du point

(Si) = 0,

rt ro par rapport à la même sphère, sera

(a,) Co — Ct + Î5"2' — (ro — r,)*] = o.

Les équations (as) et (ai) prises ensemble représentent la droite conjuguée de Taxe extérieur de similitude par rapport k la sphère Co = o; car les plans polaires de deux points d^une droite se coupent suivant la conjuguée de cette droite. On aurait des équations analogues pour les droites conjuguées relativement aux autres sphères.

On sait que la droite conjuguée est la corde des contacts des plans tangents à la sphère menés par la droite donnée; donc, si enjoint aux équations (ai)^ (ai) celle de la sphère Co = o, on aura un système de trois équations qui permettent de calculer les points où les plans tangents menés par l'axe extérieur de similitude touchent la sphère Cob=o.