SYSTÈME DES QUATRE SPHÈRES

14S. Soient les équations de quatre sphères quelconques

Co = o, Cl = o, Cl = o, Cs = o.

Les axes radicaux de ces sphères prises trois à trois sont représentes par les équations

(o, ij 2) Co "— C| =» o, Ci — Cl s=a o, Cl — Co = o ;

(i, 2, 3) Cl — C4==o, Cî — C3 = o, Cs — Ci=o; (2, 3i o) Ct — C5 = o, Cj — Co =• o, Co — Ct = o; (3, o, i) C3 — Co = o, Co — Cl = o, Ci — Ca = o.

Il est visible qoe ces droites concourent en un même point, celui qui répond aux égalités

Co = Ci = Ct = Cj.

Ce point s'apellc le centre radical des sphères données; il jouira de la propriété d'avoir la même puissance par rapport k chacune d'elles, c'est-i-dire que les tangentes aux sphères issues de ce point seront égales; ce sera le centre d'une sphère qui passera par les points de contact de ces tangentes et ayant pour rayon leur commune longueur. Le centre de cette sphère est déterminé par les égalités précédentes tandis que le rayon est la valeur de l'une des fonctions Co, Ci, Cs, Ci, lorsqu'on y substitue les coordonnées du centre.

Supposons que la quatrième sphère Cs soit variable, et soit D l'axe radical des sphères restantes. Quelle que soit la position du centre, la sphère Cs rencontrera les autres suivant trois cercles dont les plans. iront se rencontrer sur la droite D; dans le cas particulier d'une sphère tangente aux trois autres, les plans tangents communs formeront un angle trièdre dont le sommet sera sur la même droite.

1 4S. Centres de êimUitude. Si on combine les sphères deux & deux, on obtiendra deux centres de similitude situés sur chaque arête du tétraèdre qui a pour sommets les centres des sphères; ces douze points seront représentés par les équations

, . Ao Ai Ao At Aq As

Tq Ti ro Ti To Ts

, ,. A| At Ai As At As

ri rt ri rs rt r»

Ao , A| Ao , A« Ao , A3

ro * r« ro ' r« ro ' rs

^ Ai , A» Ai , As At , As

ri ^ rt ri * rj ra * - rs

les centres des sphères proposées étant définis par

Ao = o, Al = o, Aï = o, As = o.

Les trois équations (a') sont une conséquence des équations (a); il s'ensuit que les six premiers centres de similitude se trouvent dans un même plan. De même, il est facile de vérifier qu'en retranchant membre à membre trois équations faisant partie des systèmes (|3) et ((3'), on retrouve trois équations appartenant aux systèmes (a) et (a'). Donc, trois centres de similitude de la seconde espèce sont dans un même plan avec trois centres de similitude de la première espèce. Pour chaque système de trois sphères on a quatre axes de similitude, de sorte que les douze centres de similitude seront situés trois par trois sur seize droites ou axes de similitude. De plus, ils seront six par six dans un même plan appelé plofi de similitude; il y aura huit plans semblables s*entrecoupant suivant les axes de similitude.

144. Trouver le pôle éPun plan de sitniliiude par rapport à ta sphère Cq &= o.

Cherchons, par exemple, le pôle du plan de similitude qui renferme les points (a) et (a'). Nous désignerons ce plan par tt, et nous Tappelerons plan extérieur de similitude pour le distinguer des autres. Nous avons vu précédemment que le plan polaire du point (N"* 136)

(S.) ^^=o, To ri

par rapport à Co «= o, est représenté par Téquation

Co — Cl + oi*— {^0 ~ ^0' == o- De même, les plans polaires des points

Aq Af Aq As

Tq r% Tq Ts

par rapport à la même sphère seront définis par les équations

Co — Cî + Ô2* — (ro — r,)* = o,

Co — Cs +Ô3* — (»*o — »"»)* = o- Le pôle du plan tt est Tintersection de ces trois plans, et par suite,

ses coordonnées s'obtiendront en résolvant ces équations par rapport à X, y, z.

On trouverait facilement les équations analogues qui déterminent le pâle du même plan par rapport aux autres sphères, ainsi que celles du pAle d*un autre plan de similitude relativement à Tune des sphères données.