Sphère tangenk à qucUre sphères. Soient

(l) Co=SïO, C|e=0, Ci = 0, Cs = 0

les équations de quatre sphères données^ les coordonnées rectangulaires du centre et le rayon de chacune d'elles étant respectivement

Oof 60, Co, ToJ

oj, 6j, Cif ri; a«, 6t, Ct, rt; «s, 63, Cs, rs.

Désignons par s le centre d'une sphère qui touche les autres intérieurement, et par r le rayon. Le contact de deux sphères ayant lieu snr la droite qui réunit leurs centres, on doit avoir les égalités

(2) IS' = (r + r,y,Ti' = (r + n)%Ii' = (r + r.)%li* = {r + r,)' ;

o, I» 2, 3 sont les centres des sphères données. Mais on sait que la distance so a pour expression

où X, y, z représentent les cordonnées du point s. Les égalités précédentes peuvent donc se mettre sous la forme

(2') Co + rj = (r + ro)S Ci+rî=(r + rOS C, + rj = (r + rt)S

C, + r| = (r + rs)^

Ces quatre équations renferment la solution analytique du problènae; elles permettent de déterminer les coordonnées du centre et le rayon d'une sphère tangente aux sphères données. Nous avons supposé que la sphère touchait intérieurement les autres pour écrire le égalités (2); dans .le cas d'une sphère tangente extérieurement, il faudrait attribuer

le signe négatif aux rayons n, ri , rt, rs. Enfin, quelle que soit la sphère tangente aux sphères données, on pourra toujours écrire quatre équations de la forme {2) ou (2') en ayant soin de donner le signe — aux rayons des sphères touchées extérieurement. En énumérant toutes les combinaisons différentes que l'on peut former, on trouve que le problème proposé admet en général seize solutions; le nombre de solutions réelles dépend de la position des sphères données.

Nous nous occuperons spécialement de la sphère touchant toutes les autres intérieurement ou extérieurement, et nous allons déduire des équations précédentes le moyen de construire Tune de ces sphères.

t4M. Si on retranche membre à membre les équations {2% on trouve les égalités

(3) Co— Ci=2r(ro— ri), Co— Ct=2r(ro— ri), Co— C»=2r(ro— rs)

(4) Cl— C«=2r{n— ri), Cl— C5=2r(ri— rs). Ci— C8=2r(rf— r»);

elles ne forment que trois équations distinctes, car les trois dernières se déduisent des précédentes par soustraction. Eliminons r entre les égalités (3); il viendra

(ro — r,) (Co — C) — (ro — r«) (Co — C) = o, (ro — r,) (Co — Cl) — (ro - r,) (Co — C,) = o, ou bien

(5) ro (C, — C) + r, (Co — C5) + r, (C, — Co) = o,

(6) ro (C, — C) + ri (Co - Cj) + r, (Ci — Co) =• o.

Ces équations restent invariables, si on change le signe des quantités ro, n, ri, rzi comme elles découlent des égalités (2'), elles seront satisfaites par les coordonnées du centre d'une sphère qui touche intérieurement les sphères données ou extérieurement. Les différences Cs — C|, etc. étant du premier degré en x, y, is, les équations (5) et (6) définissent deux plana passant par le centre radical et se coupant suivant une droite qui- renferme les centres des deux sphères tangentes. Or, la première représente (N* 140) un plan perpendiculaire à Taxe extérieur de similitude des sphères o, i, 3; la seconde, un plan perpendiculaire à Taxe

extérieur de similitude des sphères o, 2, 3; donc le plan Trqui renferme

les six points

As A| Ai Ao Ao As

As A| A| Ao Ai At

=sO, =0, = o,

rs rt r» ro r, n

est à la fois perpendiculaire aux plans (5) et (6) ainsi qu*i leur intersection.

Donc, U$ centres des deux sphères tangentes intérieurement et exlérieurement aux sphères données sont situés sur la perpendiculaire abaissée du centre radical sur le plan extérieur de similitude.

Par une transformation semblable des équations {2') lorsque les rayons roy riy rt, rt ne sont pas tous de même signe, on arriverait à cette proposition générale :

Les centres des seize sphères tangentes d quatre sphères données sont situés deux par deux sur les perpendiculaires abaissées du centre radical sur les huit plans de similitude.

147. Désignons par S la sphère qui touche les autres intérieurement, et cherchons les coordonnées x', y\ z' du point où elle est tangente à la sphère Co = o. Ce point divise la distance so en deux segments

dont le rapport est égal à — ; on aura donc

. rox + roo , roV + rto , roZ + rco

r + ro ^ r-j-ro r + ro

d'où Ton déduit

(r 4- ro) «' — roo (r 4- ro) v' — r6o (r + r©) z' — rco

r© ro ro

Comme x, y, z sont les coordonnées du centre s, ces valeurs doivent satisfaire aux équations (3). Avant d'y faire la substitution^ U Ceiut remarquer, qu*en remplaçant dans un polynôme du premier degré de la forme (ix + 6y-|-cjs-}-d les variables par les expressions précédentes, on trouve

— !-— (ox' + 'y' + ^^' + ^ — (<»«« + 660 + <^o + «o>

— i98 — c*e8t4i-4lire que le résultat est égal au polynAme proposé, où x, y, z, sont

remplacés par x% xf^ z', maltiplié par —^ — , moins le produit de — par

la Taleur du polynàme pour les coordonnées ao> 60» Co. En vertu de cette règle, la première des équations (3) deviendra, après la substitution,

^^^^"(C;-C;)--[2(ai-ao)ao+2(6,-6o)6o + 2(c4-c«)co+a; r* Tu

+ fc; + c;-»-J-aî-6î-cî + rî] = 2r(r,-r,), OU bien

(^) ^^« ~ c;) + I(5i' + r; - T\i^2r{u-u). Bn simplifiant, cette équation peut se mettre sous la forme

r-j-To

On trouvera aussi pour les deux autres équations (3), après la même substitution,

Ci - <^i + np;;: iô? -(»••-»•»)•]= o.

Il en résulte, en supprimant les acccntS| que les coordonnées du point de contact de la sphère S sur Co satisferont aux équations

Co — Cl

(ro — ri)« ' r-f Co — C» , r

(r. — r,)»"^r + Co — C, r

Co — Ci , r

01 — (ro — ri)« r-fro

. . Co — Cj . r

02 — (ro — ri)» r + ro

03 — (ro — rj)» r + ro On en déduit par soustraction

Co -~- Cl Co ■"" Cl

01 — (ro— ri)* 03 — (r»— r»)«

. . Co «^^ Ci Co -• Ci ^

^^' «• - (r. - rtY ~ ôi* - (ro - r.)« ~ °'

Ces équations représentent deux plans qui renferment le centre radical et le point du contact de S sur la sphère Co => o; prises simultanément, elles déterminent la droite qui joint ces deux points. De plus, elles ne changent pas, si on remplace r©, n, r«, rs, par — ro, — n, — rt, -- fs; donc, la droite qu'elles représentent passe aussi par le point de contact sur Co sa 0 de la sphère tangente extérieurement. Or, si on retranche membre à membre les équations (N° i44) qui déterminent le pôle du plan extérieur de similitude, on retrouve les égalités (8) et (9). Donc, la droite qui joint le centre radical au pAle du plan it par rapport à Co, renferme les points de contact de deux sphères tangentes intérieurement et extérieurement aux sphères données. On arrivera évidemment à une conclusion semblable pour les autres sphères Ci, Ci, Ci. Ainsi, les droites qui joignent le centre radical aux pôles du plan extérieur de similitude déterminent^ par leurs intersections avec les sphères données^ les points de contact' des deux sphères, tune tangente intérieurement^ Poutre tangente extérieurement aux proposées.

En généralisant ce résultat, on aura la proposition suivante : Étant choisi d volonté un plan de similitude d'un système de quatre sphères^ les droites menées du centre radical aux pôles de ce plan par rapport à chaeténe d'elles les rencontrent en huii points qui seront les points de contact de deux sphères tangentes d la fois aux proposées.