CHAPITRE VIII

SURFACEiS DU SECOND ORDRE

(Ck>ordoiiliéei olrtiMenÉiefl).

SoMMÂiu. — Équation générale dêi iurfaeéê du ëênond ârdf*ê, Centre. «^ Pitih dUAkéthU ei diamètre. Simplification de l'équation générale^ — Plan$ prindpaïUK» Équations aum axes. Surface de révolution, — Plan tangent et plan polaire*

14§. L'ëquatioD générale du second degré par rapport aux coordonnées cartésiennes est de la forme

(i) A«« + Ay + A"jB« + 2Byz + 2Wzx + 2W'xy + 2CaF + 2C'y + 2C"« -{- F = o.

Après avoir divisé le premier membre par Tune des constantes A, A' etc., elle renfermera neuf paramètres arbitraires. Ainsi, en général, une surface du second ordre est complètement déterminée par neuf conditions géométriques, chacune d'elles donnant lieu à une relation unique entre les paramètres; par exemple, si la surface était assujettie à passer par neuf points donnés, Pun d'eux étant {x'y'z% on aurait neuf équations de la forme

Ax'« 4- A'y'» + A"z'« + 2%'z' + 2B'jj'x' + 2B"x'y'

+ 2(V + 2Cy + 2C"Z' + P = o,

qui donneraient un seul système de valeurs pour les coefiBdents inconnus. Neuf points quelconques de l'espace déterminent donc une surface du seoond ordre et une seule.

La nature de la surface représentée par Téquation (i) dépend des valeurs attribuées aux paramètres. Au lieu de suivre la méthode de discussion employée en géométrie plane, pour mettre en évidence la forme et le nombre de surfaces distinctes qu'elle définit analytiquement, il est avantageux d'exposer d'abord les propriétés du centre et du plan diamétral afin de ramener Péquation à des termes plus simples.

Il importe de remarquer qu'on rend Téquation (i) homogène, en

X y z remplaçant les variables par les rapports - > - 1 - et en chassant

ensuite le dénominateur ; elle devient ainsi

(2) A«« + A'y« + A"a* + 2By« + 2B'zx + 2W'xy + Cx« + 2C'y< + 2C"zî + W c= o.

Il sufiBt de poser t^=i pour retrouver la première. On peut encore employer une notation plus symétrique et écrire pour l'équation homogène du second degré

(3) au«* + a%%y^ -|- a%iz'^ + «*4<*+ aait^py + 2aisxx + 20i4«l

-)" 2a%iyz 4- 2a%^t -f- 2au'X^ es o.