CENTRE
149. Le centre d^une surface est un point fixe divisant en deux parties égales toute droite qui h traverse et qui est terminée à la surface.
Soit G le centre d'une surface représentée par l'équation (i); menons par ce point une droite qui rencontre la surface en deux points Mi(a?fyiZi), Mt(xtyt£f); les coordonnées du milieu de la corde MiMi ou du point G seront
Xi + xi yi + yj zi + zt
Si on suppose l'origine au centre, ces valeurs doivent être nulles, et, par suite, Xi = — Xi, yi = — yi, 2« = — «i. Ainsi, toute droite menée par l'origine rencontrera la surface en deux points dont les coordonnées sont égales et de signes contraires. L'équation (i) devra être satisfaite à la fois par les valeurs {Xi^ yi, zi) et (— xi, — y^^ — Zi);
par conséquent, Jes termes du premier degré ne peuvent pas se trouver dans l'équation et les coefficients G, C% C seront nuls. Donc, lorsque l'origine des coordonnées est au centre d^une surface du second ordre^ Piqu(Uion qui la représente ne renferme pas les termes du premier degré.
Cette propriété va nous conduire aux équations qui déterminent le centre.
f S0« Désignons par xij yi, zi les coordonnées inconnues du centre de la surface définie par Téquation (i), et transportons Torigine en ce point en conservant la même direction pour les axes. L'équation de la surface rapportée aux axes nouveaux s'obtiendra en substituant & or, y, z, les valeurs xi + x\ yi+y'i Zi-^-z'. En développant, l'équation nouvelle peut se ramener & la forme
Ax'» + Ay « + A'V« + 2By'z' + 2Wz'x' + 2B"x'y' + a (Axi + W'y, + Vz, + C) a/+ 2 (B"a:i+ A'y,+ Bzi+ COy'+ 2 (B'a;i+By,+A"z, + C") z' + AxJ + A'yî + hrz\ + TSyiZi + 2B'z,x, + 2B"j:iyi + 2Cxi
+ aC'yi + 2C"zi + F = o.
Représentons par /"(x, y, z) le premier membre de l'équation (i), et par ^, ^, /]| les dérivées partielles de cette fonction prises par rapport à X, y, z : l'équation précédente pourra s'écrire, en supprimant les accents,
(4) A«« + A'y* + A"«« + 2By« -|- 2B'iMr + aB"ay
+ ^f.K + yr,i + «Al + /(^«, yt, z,) = o.
Or, l'origine étant au centre, les coefficients du premier degré doivent être nuls; ce qui exige que les coordonnées de ce point vérifient les équations
En remplaçant les dérivées par leurs valeurs, les équations qui déterminent le centre d'une surface du second ordre seront :
Ax + B"y + B'jr + C = o,
(s) B"2 + A'y + Bz + C'=o,
Vx + By + k"z + C" c= 0.
Le dénominateur commun des inconnues aura pour expression
A = — AB« — A'B'* — A"B"> + AA'A" + aBB'B".
Si A^o, la surface aura un centre unique; si A =30, le centre sera
à l'infini ou indéterminé. Dans le cas particulier où les trois équations précédentes ne forment que deux équations distinctes, il y aura une infinité de centres situés sur la droite qu'elles déterminent; si les trois équations se confondent, la surface admettra une infinité de centres situés dans un plan*
151. Lorsqu'une surface du second ordre admet un centre (xiyiZi), l'équation (i) se ramène & la forme
Ax* + A'y« + A"«* + 2Byz + 2Wzx + 2B"acy + K = o
en y plaçant l'origine; le coefficient K est le résultat de la substitution des coordonnées du centre dans le polynôme f{x^ y^ z). On peut en déduire une expression plus simple des équations
Axi + B"yi + B'zi + C«o,
(a) B"*, + A'yi + Bzi + C = o,
B'x, + Byi + A"«, 4- C" = o.
Si on les multiplie respectivement par Xi, yi, zt et si on les ajoute ensuite membre à membre, il viendra
Ax* + A'yî + A"z] 4- 2ByiZ, + aB'ziX* + 2B"x,y, + Cxi + C'yi + C'Zi = o, ou bien
f{Xi, y,, «,) — F =» Cx, + C'yi + €"««.
On aura donc, pour déterminer R, l'équation
(^) Cx, + C'y, + C'Zi + F — K = o.
Enfin, 81 on joint cette ëgalitë au système (a), on arrivera, par l'élitnination dèxi, yi, Zt, à la relation
D*ou on tire
C'est une autre valeur du coeflBcient K en fonction des constantes de Pëquation de la surface.
159. Lorsqu'on transportant l'origine au centre, la quantité K est nulle, l'équation transformée devient homogène par rapport k x^y^ z et de la forme
Aaî» + Ay + A"z* + 2Byz + 2B'«x + 2B"a?y = o.
Nous allons montrer qu'elle définit alors une surface conique. En effet, soient
X = Az, y = yLz^
les équations d'une droite passant par l'origine; combinons ces égalités avec la précédente pour éliminer x et y. On trouvera ainsi la relation
Aa« + A>« + A" + 2Bfx + 2B'i + 2B"Àfx = o
qui doit être satisfaite pour que la droite soit située sur la surface. Or, comme elle renferme deux paramètres, on peut y satisfaire par une infinité de valeurs de A et de |i; la surface qui est le lieu de toutes les droites correspondantes sera un cône ayant pour sommet Torigine.
La condition R = o ou /(xi,jf4,Z4) =s o exprime que le centre est un point de la surface. D'après la valeur de K trouvée précëdemmenty la condition pour que l'équation générale du second degré représente une surface conique sera
De même, lorsque l'équation homogène (3) définit un cAne, les coordonnées du centre vérifieront les équations (a) et (|3) du numéro précédent, c'est-i-dire
Par l'élimination des variables, il viendra la condition
ai4 Oit Ois ^14
ttfi Oti ai8 (Ha
ttsi ttsi a%% Osi
Exemples.
Bx. t. Déterminer le centre et les équations simplifiées des snrfiiees représentées psr les équations
R !•) » = i, y = 2, « = 3; «• + 3y* + 4*'+*y*+4** + ^y = ''ï- 2») »=i, y = 2, * =05 «y + »jr+y«=i,
3») « = — , y = o, af = o; a;"+2y*+3»"H-3(*y4-y* + '«) = -*
Bx. t. L'équation
8iry— z6«jr-|-8yjp — 8«H-8y — z6jr^7 = o
représente une surface conique dont le sommet est le point ( -" - 9 - 9 ] *
Ex. S. La surface
»■ — y* — «• + 3yi + a5+y — jf=r 5
a une infinité de centres sitaéi sur la droite d'intersection dos plans
a»4-i = o, ay — a« — 1 = 0.
Cx. «• Tronyer le centre de la surftce
(«y + /to — cy)" — o/i («If — jr«) = O.
Ex. S. Lien des centres des sarfaces définies par l'équation
as* + y* — *" + 2>aw + Zfiffz — 2ax ^ zhy + ac» := 0»
où > et /y sont deux paramètres arbitraires. 11 faut éliminer les coefficients indéterminés entre les équations
«4-3^ — a = 0» y + yta— 6=:0, — a + X» + /*y + c = o. On troQTera
Kx. •• Que représente Péquation
A«» + A V + A"»« + aBy a + aB'^» + aB"»y - a (Aa + B"6 + B'c) • — a(B"a + A'ft + Bc)y-a(B'o + B6 + A"e)a-f P = o?
Qas surfuces qui ont pour centre le point (0,69 c). Ex. f . L'équation
(a»+6y+c*)«+(a'«+6'y+c'»)«+(o''x+6''y4-c'':r)«+a(>+aC'y+aC''*+F==o représente une surface i centre unique, si les plans
ax-V-by-\-cz=.Oy o'os + ft'y + c'jf = o, a"» + *"y + ^'' = o
se coupent en un seul point.
Les plans se coupent en un point si le déterminant
est différent de zéro. Or, les équations du centre sont
(o« + o'« + o"») « + (0* + a'6' + a"6") y + (oc + a'c* + «"«") « + C = o, (06 + n'I' 4- a"6")» -f (6« + 6'« -f 6"«) y + ((kî + 6V + 6"e") » + C = o, (oe -f- o'c' + o'V) a: + (6c -I- 6'c' + 6' V) y + (#.« + c'« + c">) J + C" = 0.
Le dénominateur des valeurs des inconnues x, y, z est le carré d« détermtnint Dj* donCf elles seront finies et déterminées, et la surface n*aura qu'un centre.
Ex. •. Déterminer les plans du centre de la surface refurésentée par Téquation
M« + N« + aC« + 2C'y + aC"«4-F=o, où
M = a«-i-6y + cjr, N = «'» + 6'y + c'**
Ces plans seront
oM + a'N+C = 0, 6M + 6Tf + C' = cs cM + eTf+C"=o;
ils sont parallèles à la droite d'intersection des plans M = o, N = a
£x. •• Trouver les équations du centre de la surfeee
Ce sont:
aH-|-C=:0, 6M + C' = 0. eM + C'so; ils sont paraUèles au plan M := o.
Ex. !•. Trouver la condition pour que le cône représenté par Téquation Aa« + A V + A" j« + ^z -h aB'jroc + aB"»y = o
ait trois génératrices rectangulaires.
Soient
les équations de trois droites rectangulaires issues de Torigine. Exprimons qu'elles appartiennent k la surlace; il viendra
Al* + A'rn» + A"»» + aBmn + aB'w/ + aB"/in = o, Ar« 4- A'm'» + A'V>+ aBm'n' + aBVr + aB"rm' = o; Ai"» + A'm"« + A"n"« + aBm"»" + aBVi" + aB'T'm" = o.
En ajoutant ces équations membre à membre et en tenant compte des relations qui existent entre les cosinus directeurs de trois droites rectangulaires, on trouvera pour la conditioo cherchée
% 2. PLAN DIAMÉTRAL. DIAMÈTRE.
%it. On ^f pelle surface diamétrale le lieu des milieux des cordes d*une surface donnée parallèles à une même droite. Proposons-nous de chercher l'équation de la surface diamétrale, lorsque la surface donnée est une surface du second ordre définie par l'équation générale du second degré f(Xy y^ z) = o.
Soient
les équations d'une droite passant par l'origine; menons dans la surface une corde UN parallèle à cette droite» et désignons par xi,yi, jTi les coordonnées du milieu de MN. Si on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point (xi^iZi), Téquation de la surface pour les axes nouveaux est de la forme (N"* 150)
Ax'« + \y* + A"«'« + 2By'z' + 2B'jc'x' + aB'Vy' + x'f^^
+ yTyi + «Tm +n^uyu «i) = o.
De plus, la droite MN issue de la nouvelle origine aura des équations dç bt forme
À fJL V
Bliminons x' et y entre les égalités précédentes; il viendra l'équation du second degré en z'
(A7!+A'f; + A" + 2BÇ + aB'i^ + aB"^)z'« («) ^
+ (^r^t +7 f». + A«) 2' + /(««. yu «0 = o,
dont les racines correspondent aux points où la droite rencontre la surface. Or, Torigine étant le milieu de la corde, les deux valeurs de z' doivent être égales et de signes contraires; par suite, les coor»
données Xi,yi, Xi, vérifient la relation
(i) iA + pA + v/>. = o.
Comme nous ayons considéré une corde quelconque, Téquation précédente sera satisfaite par les coordonnées des milieux de toutes les cordes parallèles i la direction (X, p, v); elle représente donc la surface diamétrale* En substituant aux dérivées leurs yaleurs, l'équation (i) devient
(2) i(Ax + V'y + B'z + C) + ii{W'x + A'y + B« + C)
ou bien
(3) (AA + B'> + B'v) X + (B"A + A> + Bv) y + (B'À + B/x + A''v) «
+ CA4-CV + C"v = o;
elle est du premier degré et représente un plan passant par le centre, car les coordonnées de ce point annulent les dérivées partielles ^, ^^ f,. Ainsi, dans une surface du second ordre^ la surface diamétrale est un
plan qui passe par le centre. La droite y=-===- s'appelle la direction
conjuguée du plan diamétral.
Réciproquement, un plan quelconque mené par le centre de la surface sera un plan diamétral. En effet, en supposant l'origine au centre, l'équation (3) se réduit à
(AA + B'> + B'v) X + (B"i + A> + Bv) y + (B'A + Bjui + A"v) « «= o,
et, si on identifie cette équation avec celle d'un plan donné
(» + my + iw = o
passant par l'origine, on aura les égalités
AA + B^ y -f B'v W'I + A> + Bv B^ + Bf* + ^"^ l ~ m '^ n
qui suffisent pour déterminer les rapports - » - de la direction conjuguée du plan donné.
iià. Ca$ singuliers. Le plan diamétral varie avec la direction conjuguée. Dans le cas particulier où les coeflBcîents directeurs A, |ui, v satisfont & la relation
l'équation (a) admet une racine infinie, et les cordes parallèles ne rencontrent plus la surface qu'en un point à une distance finie. Le plan diamétral est alors parallèle aux cordes, car on a la relation
A(Ai + W'fi + B'v) + fx(B"A + A> + Bv) + y(B'X 4- Bfx + X"v) = AX« 4- Ay + A'V + 2Bp + 2B'vA + 2B"A|tx = o.
De plus, cette même équation exprime aussi qu'une droite menée par un point {xoyoZo) du plan diamétral et ayant pour équations
* = xo + ^p y = yo + fjf « = «0 + vp,
se trouve dans ce plan; or, pour une telle droite, le coeflBcient de x' est nul dans l'équation (a), et, par suite, ses intersections avec la surface sont deux points k l'infini; donc, si les coefficients directeurs d'une droite satisfont & la relation (|3), le plan diamétral correspondant est le lieu des droites qui, parallèles à la direction donnée, rencontrent la surface en deux points à Tinfini,
Lorsque les coefficients A, /m, v vérifient les relations
AA4-B'> + B'v = o, B"A + A>+Bv = o, B'A + BpH- A"v = o,
réquation (3) se réduit à une constante égalée à zéro, et le plan qu'elle représente est & l'infini. Cette circonstance ne peut se présenter que pour les surfaces dénuées de centre, car en éliminant A, fx et v, il vient
Si la droite conjuguée
coïncide avec l'axe des z, les constantes A et jx sont nulles; dans oette hypothèse, le plan diamétral correspondant sera fl^^o* De même
f[=sQ^ f^eao représentent des plans passant par les milieux des cordes parallèles à l'axe des x et des y. Ainsi les trois plaos du centre sont les plans diamétraux conjugués aux axes des coordonnées.
ISft. Lorsque la surface du second ordre admet un centre unique, tous les plans diamétraux passent par ce point. Réciproquement, .si les plans diamétraux se coupent en un point fixe, la surface aura ce point pour centre, puisque les (rois plans /*j = o, /'y e= o, /^ = o doivent aussi passer par le même point.
Quand la surface admet une infinité de centres en ligne droite, Tune des équations du centre est une conséquence des deux autres, et on peut poser
le plan diamétral sera défini par une équation de la forme
(i + ^l)r. + (F + vm)/; = o,
et quelles que soient les valeurs de A, |ui, v, il passera par la droite des centres qui est l'intersection des plans f^ = o, f^ = o.
Il peut encore arriver qu^une surface du second ordre ait une infinité de centres situés dans un plan; dans ce cas, les polynômes /^, f^^ f^ ne peuvent différer que par un facteur constant; par suite, l'équation du plan diamétral sera de la forme k'f^ = Q\ il coïncidera avec le plan des centres.
Lorsque le centre d^une surface du second ordre est i l'infini, les plans du centre sont parallèles, ou deux d'entre eux se coupent suivant une droite parallèle au troisième. Dans le premier cas^ on peut poser
et réquation du plan diamétral deviendra
(X-f fx + v)/; + Ap + |iÇ = o;
elle définit un plan parallèle aux plans du centre. Si les plans /]^ «= o, /^^ = o se rencontrent suivant une droite parallèle à /^=»o, l'équation lfm + mf'^^=^o représentant un plan quelconque passant par cette droite, on pourra toujours écrire Tidentité
par suite, le plan diamétral sera représenté par l'équation
qui définit un pian parallèle k la droite d'intersection des plans /^ sa o, /^ = o. Ainsi, dans les surfaces dénuées de centre tes plans diamélraux sofU parallèles entre eux ou parallèles à une même droite.
156. Diamètre» On nomme diamètre d'une surface du second ordre, la droite d'intersection de deux plans diamétraux. Afin de trouver les équations d'une telle droite, considérons les plans diamétraux respectivement conjugués aux directions (X, /i, v), (A', /x\ v'). Les équations qui les représentent
étant résolues par rapport à /'^, /*,, f'^, donnent lieu aux égalités
n ^ fi n
jxv' — v|x' vX' — Xv' Xfx' — fxX'
Elles seront vérifiées par les coordonnées d'un point quelconque de la droite d'intersection des plans diamétraux, et, par conséquent, elles définissent un diamètre de la surface. Les constantes X, /ut, v, X', fji', y' étant quelconques, on peut écrire pour les équations d'un diamètre
fi, 9, r étant des coefficients arbitraires. Quelles que soient les valeurs des paramètres, ces équations représentent une droite qui passe par le centre.
On peut aussi regarder un diamètre comme le lieu des centres des sections faites par des plans parallèles dans la surface. Considérons un plan quelconque qui rencontre la surface suivant une conique; prenons le plan sécant pour celui des xy, et soit^ dans cette hypothèse, f{Xn y, ic) =3 o l'équation de la surface. Un plan parallèle à xy, et ayant pour équation z =3 c, coupe la surface suivant une courbe dont la projection sur le plan des ocy sera représentée par /"(x, y, c) -s o. Le centre de cette conique est déterminé par les équations
Ofi ce point est évidemment la projection sur xy du centre de la courbe de Tespace dont les coordonnées devront vérifier les égalités
Le lieu des centres s'obtiendra en éliminant le paramètre e qui varie avec la distance du plan sécant à l'origine; ce sera la droite d'intersection des plans diamétraux
fl («, y» «) = o. fi («> y I «) = o.
159. Diamèirei conjugués. On dit que trois diamètres forment un système de diamètres conjugués^ lorsque chacun d^eux est le conjugué du plan des deux autres; les plans qu'ils déterminent forment un système de trois plans diamétraux conjugués; chacun d'eux est le plan diamétral conjugué de l'intersection des deux autres.
Considérons une surface du second ordre rapportée à son centre et définie par Téquation
Ax« + A'y« + A"«« -f 2Byz + 2B'zx + 2B"xy + K == o.
Soient AifxiVi, AtjLUsVty AifAiVs les coeflScients directeurs de trois diamètres conjugués; les plans diamétraux conjugués de ces trois directions auront pour équations
(A>,+ B>i+B'vi)«+(B''A|+AV,+|Bvi)y-|-(B%+B|:x.+ A'^,)z=o, (AA,+B'>,+B'v,) X + (B"À,+ A'fxt+ Bv.) y +(B'A,+B^»+ A"v,)z =o, (Ai,+B'>,+B'v,) X + (B"A,4- A>,+ By.) y +(B'A»+B^, + A"v,)x =o,
tandis que les diamètres sont définis par
Ai fAi Vi '
Al /txt vt
Al fA| Vg '
Si on exprime que chaque plan diamétral conjugué de Tune de ces
~ 211 — droites renferme les deux autres, on arrive aux équations
AA,A,+A>,^,+A'^iVj+B(v4fx,H-.uiv,)+BXv4AH-^iv«)+B''0*iA,+A,|^,)===o,
AA,Ar4-AVi/:x,+A''viv,+B(vt^54-f^«V5H-B'(vfA,+X«V5)+B''(fx,X,^^
Ce sont les relations qui existent entre les coeflBcients directeurs de trois diamètres conjugués. Etant pris à volonté l'un de ces diamètres, par exemple (Xi^fVi), il existera une infinité de diamètres formant avec lui un système de trois diamètres conjugués; car, on a seulement trois
relations entre les quatre rapports -i t c! , ! , iZ •
'^^ Vt Vs Vi V5
tftS. Simplifieaiian de Inéquation générale. Soit (X, fx, v) une direction & laquelle correspond un plan diamétral situé à une distance finie; prenons ce dernier pour le plan des xy^ et, pour axe des z, une droite parallèle à (A, |ji, v). L'équation de la surface rapportée à ce système d'axes sera nécessairement de la forme
Nx« + Ax« + A'y* + 2B"ay + 2Cx + aC'y + F = o.
En effet, Je plan des xy divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à Taxe des z, et l'équation doit donner, pour la variable 2, deux valeurs égales et de signes contraires, lorsqu'on attribue à X et y des valeurs quelconques; donc, elle ne renfermera pas de termes du premier degré en z.
Si on pose zc= o, il vient Péquation
Ax* + A'y« + 2W'xy + 2Cx + aC'y + F = o,
qui représente la conique d'intersection de la surface avec le plan des xy. Or, nous savons que, dans un plan, on peut toujours trouver deux axes ox et oy pour lesquels l'équation précédente se ramène à Tune des formes
Lx* -h My« — H s= o, My* — 2Qx = o.
Donc, en joignant à ox et oy un troisième axe oz parallèle à (X, fx^ v), on aura un système particulier de trois axes, tels que l'équation générale du second degré se réduira à l'un des types suivants :
Lx» + My« + N««-=: H, My« + N«« — aQx.
— 2ii —
La première équation définit des surraces qui ont pour centre Torigine des ooord(miiëes; car les équations qui déterminent ce point sont
2Lx=»o, 2My = o, 2N« = o;
elles sont vérifiées par les coordonnées de l'origine. La seconde représente des surfaces dépourvues de centre, puisque les équations
2My = o, 2N« = o, Q = o, sont impossibles aussi longtemps que le coefficient Q est différent de zéro.
t50. Clasiification des surfaces du second ordre. L'équation des surfaces à centre du second ordre
ne renfermant que les carrés des variables donnera deux valeurs égales et de signes contraires pour Tune d'elles, lorsqu'on attribue aux deux autres des valeurs déterminées. Les plans coordonnés forment un système de trois plans diamétraux conjugués, et les trois axes, un système de trois diamètres conjugués de la surface. Les constantes L, M, N, H peuvent être positives, négatives ou nulles; en admettant que la constante H soit rendue positive dans le second membre, il y aura à distinguer les trois cas suivants :
i« Les coefficients L, M, N sont de même signe;
2* Un seul coefficient est négatif dans le (premier membre;
3^ Deux coefficients sont négatifs.
Dans le premier cas, l'équation représente une surface appelée ellipsoïde^ elle est réelle ou imaginaire suivant que les coefficients du premier membre sont positifs ou négatifs; elle se réduit à un point, si H B» o.
La surface qui répond au second cas se nomme hyperbolotde d une nappe^ elle se réduit à un cône, si le coefficient H est nul.
Enfin, dans le troisième cas, on a une surface appelée kyperboloide d deux nappes "qui se réduit aussi à on c6ne lorsque H a^ o.
L'équatien «des surfaces dénuées de centre
My* + N«* = 2Qx nous montre que le plan des xz est conjugué de l'axe des y, et le plan
des xy, de Taxe des z. Si on suppose le coefficient Q positif nu s^i^«|id membre, il n'y aura que deux cas distincts i considérer :
1<» Les coefficients M et N sont de même signe;
3* Ces coefficients sont de signe différent.
Dans le premier cas, l'équation représente une surface appelée paraboloîde elliptique; elle se réduit à une droite, l'axe des x, si Q := o. Dans le second cas, on a une surface appelée paraboloîde hyperbolique.
Cet examen nous démontre Texistence de cinq genres de surfaces du second ordre : trois surfaces à centre et deux surfaces dénuées de centre. Nous étudierons plus tard la nature et la forme de chacune d'elles, ainsi que tous les eus particuliers qu'elles peuvent présenter. Il nous suffit maintenant d'avoir montré qu'il est possible de ramener l'équation générale du second degré i deux formes plus Simples, et d'avoir indiqué les surfaces différentes du second ordre qui correspondent aux hypothèses que l'on peut faire sur les signes des coefficients des équations réduites.
Exetnpleê.
Ex. 1. Trouver l'équation du plan diamétral dans la surface
R. (^-[-v)aî + (X4-v)y + (> + /«)» = 0. Ex. t. Même recherche pour la surface
(oy — hxY -f (4W — az)^ + (** ~- «y)* = A R. »p(6*4"<^*) — ftah — vac] +y [;u(a*+c*) — 3ioô— - v6c] +jr [v(a*+6*) — pbc — Xac]=o. Ex. S. La surface définie par Féquation
A»* + A'y" 4- A"j»« + 2By« + 2Wzx + iW'xy + K = o, et le cône
A«« + A'y« + A"«» + 2By« + 2Wzx + 2B"»y = 0
ont les mêmes plans diamétraux.
Ex. 4. Trouver les équations du diamètre conjugué du plan donné
te 4- my + fij + d ^ G.
Les coefScients directeurs de la droite conjuguée de ce plan satisfont aux égalités A> + B^ V + B\ W'\ + A V 4- Bv Wl + B/u + M'^ ^
Mais on a aussi
de sorte qae les équations de la droite conjuguée du plan peuTent s'écrire
ou bien
Il s'ensuit que les équations
représenteront une droite parallèle à la précédente et passant par le centre; ce sera le diamètre conjugué du plan donné.
Ex, ft. Si le plan diamétral conjugué de la droite (X, /a, v) est parallèle à une autre droite (>% /&', y'), le plan diamétral conjugué de celle-ci sera parallèle à la première.
La condition du parallélisme du plan diamétral avec la droite (y, /x', v') est de la forme
K\V + A>/ + A"w' + B (/xv' + v/) + B' (vX' + >•) + B" (fîk' + ^0 = 0;
G^tte équation exprime aussi que le plan diamétral conjugué de la droite (V, /»% /) est parallèle è la première.
Ex. •. La droite
se déplace dans un plan fixe <NB + 6y4'<'' = o; montrer que les plans diamétraux correspondants passent par une droite fixe. Les coe£5cients >, /t| ^ sont liés par les relations
Il s'ensuit que la droite
aX + ft/* + ev = o,
se trouve dans le plan diamétral, quelles que soient les valeurs de X, /», y; c^est le diamètre conjugué du plan donné.
Ex. V. Si un plan tourne autour d'une droite fixe, son diamètre conjugué décrit un plan, le plan conjugué de la droite fixe.
Soit «UD -|- 6y 4~ ^^ = 0 un plan variable passant par la droite fixe
On a i<f oondîtioDs
aX-\'bfjL-Jr'^^Of ff ff ft
quels que soient o, 6, c, le diamètre représenté par les dernières égalités se troove dans le plan
£z. 0. Trouver le lieu des milieux des cordes passant par un point fixe.
Soit P («oyo^o) '® P<>ÎQt ^^9 c( I (^y'^') '^ milieu d*une corde menée par ce point; les coordonnées d*un point quelconque de celte corde seront données par les formules
où les coefficients >, /a, v ont pour valeurs
»o — «' Vo — y' ^o — ^
Po Po Po
Po étant la distance IP. Substituons ces coordonnées dans Téquation de la surface A'> y» ^) = o. On trouvera, en développant,
A»%yS »0 + Pl^rs^+M/^^ + vr«) +P^A>"+ A>»+ A'V+2B/*y + aB%>+aB''V)= o.
Pour les points extrêmes de la corde, les valeurs de p sont égales et de signes con» tnires ; donc, les coordonnées x'^y', z* du milieu I doivent vérifier la relation
•o bien
(«0 — a*) Tzf + (y 0 - y') r^f + (*o — *') f« = o.
En supprimant les accents, il viendra pour le lieu cbercbé
(»o-»Vi + (yo-y)r;+('o-*)rs=o:
équation qni représente une surface du second ordre»
Bx. •• Trouver le lien des centres des sections faites dans la surface par un plan passant par un point îoa.
Un plan quelconque passaot par un point fixe («oVo^o) * P^'^'* équation
Le centre do la conique dMntcrsection se trouve è la fois dans le plan sécant^ et
sur le diimèlre coigoguë de ce pianj; ses coordonoiées aatisteroiit aux équttipns
«(•— •o)+*(y— yo)+c('— 'o)=o
En éliminant les paramètres a, 6^c, on tfoii?e que le lieu des centres est représenté par Péqaation
C'est une surAiee du second degré.
Ex. !•. Lieu des centres des sections faites par un plan tournant autour d'une droite fixe.
Soient {«qP^Mq), {a^yiZ^) deux points de la droite fixe; les centres des sections laites par des plans passant respectivement par ces points sont deux surfaces du second ordre représentées par les équations
Le lieu cherché sera la courbe d'intersection de ses surfaces. Or, si on retranche membre h membre ees égalités, il vient Péquation
(»o — «i)/ï + (yo — y*)/î + <^o--*i)/î=o
qui représente un plan passant par les points communs aux deux snr&ces. Le lieu des centres sera une conique située dans le plan diamétral conjugué de la droite fixe, puisque tes différences «o""*!» Vo — Vi* 'c^'i ^^^ proportionnelles aux coefficients directeurs de cette droite.
S IIL PLANS PRINCIPAUX. ÉQUATIONS RÉDUITES. CONDITIONS POUR Q\i^ 1^
