SURFACE SOIT DE RÉVOLUTION
160. On appelle p2an principal d'une surface du second ordre, tout plan diamétral perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales, et le diamètre conjughé d'un tel plan est un axe de la surface. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de déterminer les plans prineipaux d'une surface du second ordre représentée par l'équation générale fi^f Vi ^) = o» et de faire connaître les coefficients qui entrent dans l'équation de la surface rapportée aux axes. Dans cette recherche, nous supposerons les axes des coordonnées rectangulaire^t
Nous avons tu précédemment que le plan diamétral conjugué de la direction
esi représenté par l'équation
(i) (AÀ + B'V + Vv)x + (B"A 4- A> + Bv)y + (B'À + B/jl + A"v) z
+ Ci + C'(ji + C"v = o;
ly fi et V désignent les cosinus directeurs de la droite. Exprimons que ee plan est perpendiculaire aux cordes : il viendra les égalités
AX + Wy + B'v B"A + A> + Bv B'A + Bfx + A"v
Si on y ajoute la relation
on aura le système d'équations qu'il faut résoudre pour trouver les directions principales. Afin de faciliter le problème, on introduit une inconnue auxiliaire, en égalant chacun des rapports (2) à une même quantité S. On obtiçqt ainsi les tpois équations
AA + W'yi 4- B'v ^ SA,
(3) B"A + A> + Bv = S,x,
B'A + B/x + A"v = Sv,
ou
(4)t B"A-t.(A'-S)fx + Bv^o,
B'A4-B|ji + (A" — S)v = o;
et l'équation du plan diamétral se présente alors sous la forme
(5) S (îap + py -}- yz) + CA -4- C'fx + C"v = o.
Eliminons A, fx, y entre les équations (4) pour arriver & une équation qui ne renferme plus que l'inconnue S; ce sera :
-" Î18 — Bd développant, elle peut se ramener k la forme
+ 2BB'B" = o,
ou bien
(8) s» — (A + A' + A") S«+ (AA' + AA" + A'A'' — B« — B'« — B''«) S
+ AB» + A'B'» + A''B"« — AA'A" — 2BB'B" = o.
Cette équation du troisième degré ne dépend que des coeflBcients des termes du second degré de l'équation générale, et admet toujours trois racines réelles, comme on le verra plus loin. Soient Si, St, Ss les racines; en les substituant successivement dans les équations (4), on trouvera
des valeurs réelles pour les rapports - 1 - • Ainsi, t7 existe toujours
an moins trois directions principales.
Il est facile de vérifier qu'elles sont perpendiculaires entre elles; car si on désigne par AifAiVi, Xtfxtvi les cosinus directeurs qui correspondent aux racines Si, Si, on aura les égalités
AA, + W'iXi + B'v, =» S, A„ Ait + B'>, + B'v« = S«>t,
B"Ài + A Vi + Bvi -= S.ai, W% + A Vt + Bv, = S./*,,
B'3l| + Bfxi + A"vi = S«vi, B% + B/x, + A"v, = S,Vf .
Multiplions les premières par Ai, /xt, y», et ajoutons-les membre k membre; multiplions les autres respectivement par Ai, fXi, vi, et ajoutonsles membre k membre; si on retrancbe ensuite les sommes ainsi obtenues, on trouve
(Si — Si ) (Ali, -h fxifxi -|- vivt) = o;
donc, en supposant les racines différentes, les deux directions principales sont perpendiculaires.
Quoiqu'il existe au moins trois directions principales, on ne peut pas aflSrmer que toute surface du second ordre admet trois plans principaux situés à une distance finie; l'équation (5) nous montre, en effet, que le plan qu*elle représente est à l'infini, si l'une des racines de l'équation du troisième degré est nulle. Cette circonstance se présente pour les surfaces dépourvues de centre, puisque la quantité (N* 150)
