AB« + A'B'« + A"B"« — AA'A" — 2BB'B

est nuUei et réquation (8) admet une racine égale à eéro. Si on avait les relations

AA' + A A" + A'A" — B« — B'« — B''« = o,

AB« + A'B'« + A"B"> — AA'A" — 2BB'B" = o,

les trois racines de l'équation du troisième degré seraient nulles. Or, en élevant la première au carré et en y ajoutant la seconde multipliée par — 2, on trouve

ce qui exige que Ton ait : A = A' = A" = B = B' = B'' «= o, de sorte que réquation de la surface ne serait plus du second degré. Il est donc impossible que les trois racines St, Sf» Sa, soient nulles en même temps, ety par suite, dans toute surface du second ordrsj it existe toujours au moins un plan principal à une distance finie.

t%t . Les racines de l'équation du troisième degré sont inversement proportionnelles aux carrés des longueurs des axes de la surface.

Supposons que la surface soit rapportée à son centre et définie par réquation

Ax« + A'y* + A"5;« + 2By« + tSzx + 2B"a:y = H.

Menons par le centre la direction principale (AipiVf) qui répond âi la racine Si, et soient ari, yi, Z| les coordonnées du point où elle rencontre la surface. On aura

a étant la partie du diamètre principal comprise entre le point (xiyi^i) et le centre. Substituons ces valeurs dans l'équation précédente : il viendra

a« (AAÎ + A>î + A"vî + 2B^.v, + 2B'v4Ai + 2B"Aip,) = H.

Mais, si on multiplie les équations

AA,+B>, +B'v, = S,A|, B"A,+A'fx,+Bvi = Sifjii, B'A| + Bfx.-f.A"v, = S,V|,