BB
b"^b'"»"b"~bb'V "^b'V
Posons
B'B" BB" BB'
Les équations précédentes conduisent aux valeurs
, , , AB'B" *BB" kBW
Divisons ces égalités respectivement par B, B% B'^ et ajoutons-les memère & membre : il viendra, en supprimant le facteur commun k^
B'B" BB'' BB'
B(S — a) ' B'(S — a') ' B"(S — a") ou bien
"TB'ifS — a') '"B"«(S ~o"]
(lO)
B« (S — a) » B'« (S — a') ' B"« (S - o") BB'B' Il en résulte que l'équation en S peut se mettre sous la forme
(S— o)(S— <i')(S— g") (S— o')(S— g") (S— a)(S— o") (S— o)(S— g') BB'B" B« B'* B"*
Les quantités g, g', g" ont entre elles un certain ordre de grandeur; nous supposerons g<]g'<^g". De plus le produit BB'B" peut être positif ou négatif. Admettons d'abord BB'B" <[ o, et substituons dans l'équation les nombres — oo, g, g', g". Les résultats correspondants seront
les signes de ces quantités étant respective ment
r^iIMlion admet Irais racines réelles comprises entre les noint^'es — 00 et g, g et g'^ g' et g".
Si le produit BB'B" est positif, on substituera dans l'équation les quantités g, g', g", -f-^> ^^ verra facilement que les signes des résultats se suivent dans Tordre — , -{-, — , -]-; et, par Suite, les trois rdéindes itont ettcére récites.
Pour mettre Tëquation du troisième degré sous la forme (lo), nous avons admis implicitement que les coefficients B, B', B" étaient différents de zéro. Supposons que Tun d'eux soit nul, par exemple B'^; il faut alors reprendre Téquation (7) qui se réduit &
En admettant A' ]> A, et en substituant les quantités — 00, A, A% -|- 00 on trouve encore des résultats qui sont alternativement positifs et négatifs; donc, les racines sont réelles et comprises entre ces nombres.
Enfin, si B' =30, B'' = Oy Téquation précédente devient
L'une des racines est égale à A, et les deux autres sont données par une équation du second degré qui a toujours des racines réelles, comme il est facile de le vérifier.
Donc, dans tous les cas, Téquation du troisième degré a ses trois racines réelles.
t#S. Équations aux axes des surfaces d centre. Lorsque l'équation générale représente une surface k centre unique, toutes les racines de l'équation en S sont différentes de zéro. De plus, nous savons qu'en plaçant l'origine au centre, l'équalion de la surface est de la forme
Ax* + Xy + A";s« + 2Byz + 2Wzx + zW'xy = H,
le coefficient H est égal à la quantité — K du M^ 151. Soient (A^fAiVi), (A||uiiVfl), (XsfXfVs) les directions principales que nous prendrons pour les nouveaux axes des coordonnées. Les formules de transformation seront
y « \iiX' + fxiy' + fx,«'.
Substituons ces valeurs dans l'équation de la surface; en développant, on trouve, pour le coefficient de x'^ dans la nouvelle équation, l'expression
qui est égale i Si (N^" 161); les coefficients de y", z'* seront aussi les
deux autres racines S«, Ss. Celui du rectangle %f%' a pour valeur
AAiA,+A>t^5+A"vtV5+2B(fXtV5+vip3)+2B'(XtV5+v;A5)+2B"(5itfx,+(Xt>i). Or, si on prend les équations
AA, + B"(ji, + B'y, = StX„
B"A, + A>, + Bv, = S,^,,
B'At + Bfx, + A"v, = Sivt,
et si on les multiplie respectivement par As^fis, vs, il viendra, en lyoutant,
AAjÀb + A'fZifXB + A"v,V5 + 2B (v,(X5 + itAiv») + 2B' (Aiv« + v,A,) + aB" (/utiX, + /«ps) = Sj (XjA» -|- m^» -|- viv») = o.
On verrait de même que les coefficients des produits xV, jfy* sont nuls. 11 en résulte que Téquation de la surface rapportée & ses axes sera
S«ac'« + Sty'* + S5Z'* = H.
La transformation que nous venons d'effectuer est toujours possible, si les trois racines sont différentes. Supposons que l'équation du troisième degré en S ait deux racines égales. Nous avons démontré précédemment que les racines sont toujours comprises entre les nombres — oo, a, a^ a", ou bien entre les quantités a, a'^a'', oo, suivant que le produit BB'B'' est négatif ou positif. Mais, si deux racines deviennent égales, il faut nécessairement que la racine double coïncide avec Tune des limites a, a'y a". En admettant que a soit cette racine, le premier membre devra renfermer le facteur (S — a)', ce qui exige que Ton ait a^=^a' =s, a!'. Réciproquement, si les quantités a, a', a" sont égales, le premier membre renfermera (S — a)* comme facteur, et a sera une racine double. Ainsi, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation en S ait deux racines égales seront
B'B" BB" BB'
A ^ -—-as A' —---s A" — •
La racine double Si étant l'une de ces quantités, on aura
. n B'B" ,, ^ BB" ,„ ^ BB' A-.Si = -^, A'-Si= — , A"-Si = — ;
en substituant, les équations (4) se réduisent h une seule, savoir :
B'B"A + BB'> + BB'v = 0.
Il y a donc une infinité de directions principales qui correspondent à la racine double; elles sont toujours perpendiculaires à la droite (^iftiVi) déterminée par la troisième racine, et situées dans le plan
B'B"x -f- BB"y + BB'« = o.
Si on prend, dans ce dernier, deux diamètres perpendiculaires (XifXiVi), (^tfAiVfl) et si on leur joint la direction (XsfAsVs)» on aura un système de trois axes rectangulaires qui permettra d'opérer la transformation précédente. L'équation de la surface se présentera sou« la forme
Enfin, si l'équation (7) admet une racine triple, on doit avoir
les équations (4) deviennent des identités et toutes les droites menées par le centre sont des directions principales. Si on prend pour axes trois diamètres rectangulaires, Téquation de la surface pourra se rtmener h la lame
f •4. Équation réduite dans le cas où Pune des racines est ntdle. Lorsque Téquation générale représente une surface dénuée de centre, l'équation (8) admet une racine nulle. Soit Si=o; en rapportant la suTftice & trois axes parallèles aux directions priMipales, l'équation générale deviendra
(*) Sty'» + Ssz'» + 2x' (CA, + C>i + C'y,) + 2y ' (Q, + C>. + CTu)
+ 2z' (CÀ, + C'fi, + C'v,) + F = o.
Si on transporte maintenant les axes parallèlement à eux-mêmes en un
point (xo^ 2^0» Zo) en.posaut x'=«o+x", y' = yo + y"> «' = «0 + *"» il sera généralement possible de déterminer les coordonnées de la nouvelle origine, de manière à faire disparaître les coefficients de y'\ sf', ainsi que le terme intfépendatfttians Téquation en âc'', y'^, je";«t'pafr suite, celle-ci se réduira à la forme
Stj/"* + S8«"« + 2a:" (CA4 + C>i + C^v,) = o.
Cette équ&tion représentera trn ptiraboloîde elliptique oU hypetbolfqtfe suivant le signe des racines.
Nous avoDs supposé que la quantité CXi -f- C'|X| 4* G^Vi est différente de zéro, c'est-à-dire, que le plan diamétral
o . (A,x + uty -f ViZ) + CA, + C'fZi + C"vi = o qui correspond à la racine nulle est à l'infini; si on avait
CA, + C>i 4- C"v, = o,
ce plan serait indéterminé, et l'équation (Ar) ne renfermant plus la variable x', on pourrait transporter les axes des y' et des z' parallèlement à eux-mêmes de manière à faire disparaître les termes en y" et jc'\ Il en résulte que l'équation réduite sera de la forme
et représentera un cylindre parallèle h la droite (AifCiVi). Lorsque deux racines sont égales & zéro^ on a les relations
B'B" BB",,, BB'
et, par suite, une infinité de directions principales situées dans un plan perpendiculaire à la droite (As/xsVs) qui correspond à la troisième racine. Avec trois axes parallèles à trois directions principales perpendiculaires entre elles, l'équation de la surface sera
S,z'* + 2x' (CAi + C'fx, + C'vi) + 2y' (CA, + C>« + C'vi) + 22' (CAs + C>5 + C'v,) + F = o.
On peut toujours supposer que l'on ait choisi la direction (AtfXiVi) de manière à satisfaire à la relation CAs-|-CVt + ^"^t = o; dans ce cas, l'équation devient
S,«'» + 2«' (CAi + C>i + C'vO + 2J2' (CA, + C'fx, + C'y.) + F = o,
si le coefiBcient de oc' n'est pas nul, ou bien
Ssz'» + 2z' (CA, + C>5 + C"v,) + F = o,
si ce coeflScient est égal à zéro. Enfin, en transportant les axes parallèlement i eux-mêmes, ces équations pourront se réduire à l'une des formes
Ssz"» + 2«" (Qi + C>i + C'y,) = o, Ssz"* + K = o.
La première représentera un cylindre parabolique ; la seconde, deux plans parallèles.
f M. Conditions pour que la surface soit de révolution. Une surface du second ordre est dite de révolution autour d'une droite, lorsque tout plan perpendiculaire & la droite la rencontre suivant un cercle dont le centre appartient à cette droite; celle-ci se nomme axe de révolution de la surface. Inéquation générale du second degré définit en coordonnées rectangulaires une surface de révolution, si elle peut se ramener à la forme
(R) ax* + |3t/* -}" 7^* "l~ 2'^ + 2my + 2'î« + f= o,
où deux coefficients des carrés des variables sont égaux. En efiet, supposons a =3 /3, et coupons la surface par un plan z = k perpendiculaire k Taxe des z : Tintersection va se projeter sur xy suivant toute sa grandeur^ et l'équation de cette projection sera
a (x* + y') -}- 2/x + zmy -{- 2nk + yfc* -f- /"= o.
C'est un cercle dont les coordonnées du centre > sont
des quantités indépendantes de k. Il en résulte que les courbes d'intersection de la surface, avec un plan qui se déplace parallèlement k xy, sont des cercles ayant leurs centres sur une droite fixe parallèle à l'axe des z. Donc, la surface est de révolution autour de cette droite.
Réciproquement, si l'équation générale représente une surface de révolution, elle pourra toujours se ramener k la forme (R) où deux coefficients des termes du second degré sont égaux. En effet, prenons pour axe des z, une parallèle à Taxe de révolution, et pour les deux autres axes, des droites perpendiculaires. Soit, dans cette hypothèse,
ox' + l3y* + y«' -l-26yz-|-26'rx + 26"xy+ 2cx-|-2c'y-}-2c"2-j-/'=o
l'équation de la surface. La projection de la courbe d'interjection d^un plan z=i k sur le plan des xy sera représentée par
«x* + (3j/* + 26"xy -|- 26'Ax-|- 26%-}- 2cx -f- 2c'y -f" ^c"* + yA+ /"= o; pour qu'elle soit un cercle, on doit avoir
De plus, si k est variable, Téquation précédente doit définir des cercles qui ont leurs centres sur une droite fixe; mais, les coordonnées du centre sont
et, par suite, les coefficients 6' et 6 doivent élre nuls. L'ëquation du second degré est privée des termes en xy, yz^ zx^ et les coefficients de X* et y* sont égaux; donc, elle est de la forme (R) où a == |3.
Cela étant, nous avons démontré que Téquation générale se ramène toujours à la forme (R), où deux coefficients des termes du second degré ont la même valeur, si l'équation du troisième degré en S admet une racine double. Donc, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation générale représente une surface de révolution seront
