B'B" ., BB" .,, BB' (,) A ^ = A'-— =A
Si on suppose Si = Si, Taxe de révolution de la surface sera une parallèle k la direction principale (AgjULsVs)! ou une droite perpendiculaire au plan représenté par l'équation
Sj Q^ix + (Xjy + vjz) + C?v3 + C'fjt, 4- Cvs = o
qu'on peut encore écrire, en remplaçant les cosinus directeurs par les expressions (9),
S, (B'B"x + BB"y + BB'z) -|- CB'B" + C'BB" + C'BB' = o, ou
B~B'~B"~S3VB~B'~B'V
Lorsque la surface admet un centre, les coordonnées de ce point vérifient les équations
Ax + B"y + B'z -H C = o, B^'x + k'y + Bz + C = o, B'x + By + A"z + C" = o.
Or, on a les égalités
A--Si = -g-> A — Si = — > A — Si= — ,
et, eu substituant à A, A', A" leurs voleurs, les équations précédentes deviennent
B'B"x + BB''y + BB'z + B (S.aî + C) = o.
B'B"x + BB"y + BB'z + B' (Siy + C) = o, B'B"jr + BB"y + BB'« + B" (S«« + C") = o. Il en résulte que les coordonnées du centre vérifieront les équations
B (Six + C) = B' (Siy + C) = B" (S^z + C")
qui définissent une droite passant par ce point et perpendiculaire au plan diamétral conjugué de la direction (AsftsVs); ce sont les équations de l'axe de révolution.
Les conditions (r) sont impossibles, lorsque l'un des coefficients B, B', B" est égal à zéro. Mais, si deux de ces constantes sont nulles, par exemple B' == o, B'' «= o, l'équation (7) se réduit à
Elle admet une racine égale à A, et si cette quantité satisfait à l'équation du second degré
ce sera une racine double. Donc, la surface serait encore de révolution, si on avait les conditions
La seconde racine de Téquation du second degré sera A' -{- A'' — A; en la substituant dans les équations (4), on trouve pour les cosinus directeurs de l'axe de révolution
% Pi*'
166. Lorsqu'une surface est de révolution, tout plan perpendiculaire k l'axe la rencontre suivant un cercle; si on mène dans le cercle une corde quelconque» le plan passant par son milieu et l'axe lui est perpendiculaire; on peut donc regarder tout plan mené par l'axe comme un plan principal. Cette remarque conduit immédiatement aux conditions(r) en exprimant que les équations (4) sont identiques, puisqu'il y a une infinité de directions principales; on doit donc avoir
Od eo déduit les conditions précédentes
et
B'B" BB" BB'
Exercices.
Ex. t. Déterminer l*éqaation da troisième degré et indiquer le genre des sur&ees définies par les équations
1© gfl^ 2y« + 22* + 2xy — 2» — 4y — 4z + a = G,
2® 2xy — ar* + yz — 2« + ay — 3-? — a = 0,
5» y* — 4«y + 4«« — 6» 4- 3if = o,
io 4y« — ga5«4-a»y + 36« — 8y — 4*— 32 = 0,
»• «• + 6yjr + 8«z --4apy + aa5 + 4y — I43r — 3 = 0,
6» «■ -f- ay* 4" 2«* + 2«y — aas — 4y — 43^ + 6 = o.
R. i® L*équation du troisième degré est
elle a pour racines les nombres positifs
, 3+Ks s-yj
L^ëquation aux axes sera
elle représente un ellipsoïde.
8* L*équation en S
a pour racines
La surface rapportée à son centre ( — -, - 1 i ] et à ses axes a pour équation
2»* -^ (kT- 1) y« - (I + V^ïï*" = a;
e*est un hyperboloîde à une nappe.
S* L^ëquation du troisième degré admet deux racines nulles et une autre ëgale à 5. La surface est un cylindre parabolique.
40 On a, dans cet exemple^
bi = o, ^>^= , 03= •
Les deux racines difliérentes de zéro ayant des signes contraires, la surface est an paraboloide hyperbolique.
B« Une cône.
6* Un ellips<ri[de imaginaire.
Ex. t. Que représentent les équations
!• «y -f- yz + ;y» = a*,
50 X* — yz=: k,
i* 2ayz — 6» = o,
B« a («■ + ây^) + * (y* + 2«*) + «(*'-!- 3«y) = i,
6» » = Ay« + 2B«y + Caî«-f-2Dy-f-2E* + F?
R. 1® On trouvera pour l'équation en S
dont les racines sont : x, , • La surface est un hyperboloîde de révolution à
deux nappes dont l'équation aux axes est
S^ L*éq nation du y degré admet une racine double égale à 1 — il; quel que soit le paramètre h, la surface est de révolution autour de la droite x=sy^9,
3® Un hyperboloîde à une nappe ou à deux nappes suivant le signe de k] Péquation réduite est
4fi On trouve S=:Oy S = ±:a; la surface est un paraboloîde hyperbolique. ^^ L*équation du troisième degré est de la forme
S»-(a + 6-f-c)S* + (a6 + 6c-t-crt — o« — i* — c»)S + o» + 6» + e» — 3a&c = o,
Posons
a=ia-{- 6 + c
Le terme indépendant de S est égal à a^', et, par suite, réqaation en S derient
S» — aS« — /S«S + «/S« = o; ses raeines étant «, -)- /^f ""* /^i '* sarlace rapportée aux axes sera représentée par
Cette équation représente un hyperboloîde & une nappe, un hjperboloide à deux nappes ou un eylindre hyperbolique, suivant que a est positif, négatif ou nul. Si a'=: jS*, l'équation en S a deux racines égales, et
06 + 6c -f- ca = o
sera la condition pour que la surface soit de révolution. 6» On a
S = o, S = - [A + C ±:I/(A + C)» + 4(B«- AC)].
La surface est un paraboloïde elliplique, si fi' — AC<o; un paraboloïde hyperbolique, si B' — AC > o; un cylindre parabolique, si B' -^ AG = o.
Ex. S. L*équation du troisième degré en S ne peut pas avoir deux raeines imaginaires coi^uguées de la forme
Si = at + ^1 l/IIT, S, = flft — /81 1/Hl.
En effet, les équations (4) donneraient, pour les cosinus directeurs, des Yâleurs de la forme
Or, Itt condition X^X^ -{- f^if^ 4" ^i^* = o ne serait satisfaite qu*en posant
ai = &i = ci = di=:«i = /'t = Oi
mais, dans ce cas, la relation >f -{-/«f -|-v} = 1 ne peut pas être vérifiée; donc, il
est impossible que l'équation ait pour racines ai -f- /9i V^ — i» «1 — /Si V^ — !• Comme les Goefficieots qu*elle renferme sont réels, il eu résulte qu^elle n'a pas de racines imaginaires.
£x. 4. Si on désigne par k et h les racines de Téquation du second degré
celles de l'équation en S seront comprises entre les nombres — cOf kyh^+co; la quantité k est supposée plus petite que h,
Ex. ft. Montrer que les coeflScients de l'équation en S sont invariables pour tous Ie9 systèmes d'axes rectangulaires.
Soient
Aa« + A'y* + A"x« + aByx -h 2Wzx + 2B"«y + zCa + aC'y + 2C"z + F = o, oa» + o'y ■ 4- a"z* + 2Ay« + 2b'zœ + a6"aîy + aes 4- ac'y -f 3c"jf + / = o>
les équations d'une même surface du second ordre rapportée i deux systèmes d'axes rectangulaires différents; celles qui déterminent les plans principaux seront
S»-(A+A'+A")SH-(AA'+AA"-f-A'A"-B*-B'«-B"*)S+AB«+A'B'«+A"B"«-AA'A"-aB'BB"=^ S»-(a+o'+a'OS"+(aa'+aa''+«'a''— 6»-6'«-6''«)S+a6"-fo'6'«+o''6''«— aaV'+a6'Wr''==<
Supposons que Ton transporte parallèlement à eux-mêmes les deux systèmes d^axes au centre; les termes du second degré restent les mêmes dans les équations de la surface ; de plus, le terme indépendant dans la première sera égal au terme analogue dans la seconde, car ce terme a la même valeur pour tous les systèmes d*axes rectangulaires issus du centre* La surface rapportée à ses axes sera réprésentée par
Sioî» + Sty« 4- Sj^* = H, #!«• + »ty* -|- fa;t« - H,
oîî S], Si, Sb, Si, Si, ss sont les racines des deux équations du troisième degré; ces équations montrent que les racines sont égales, et, par suite, on aura les relations
aa' 4- aa" + a'a" — 6« —6'» - 6"« = A A' + AA" + A' A" — B« — B'« - B"«,
afc» -h a'6'« + o"6"« — oo'a" - a6A'6" = AB« + A'B'» + A"B"" — AA'A" - aBB'B".
Ex. •• TrouTer Téquation qui détermine les longueurs des axes de la surface représentée par Téquation
A»« + A V + A"s« + aByz + aB's» + aB"«y = H.
Désignons par zr Pun des axes; nous avons tu que S = -^; donc, Péquatîon aux carrés des longueurs des axes de la surface sera
(A-".)(A'-5)(A"^)-B.(A-5)B'.(A'-5)B".(A"-l)+aBB'B'=c
§ 4. PLAN tangent; cône circonscrit; plan polaire.
187. Plan tangent. Soit M (x'y'z') un point d'une surface du second ordre représentée par l'équation générale /'(x, y, z) = o. Menons, par ce point, une droite qui rencontre la surface en un second point M', et supposons que la sécante tourne autour du point M jusqu'à ce que le point M' vienne se confondre avec lui ; à cette limite, on dit que la droite
est tangente à la surface. Nous allons chercher l'équation du lieu de toutes les tangentes que l'on peut mener par le point M à la surfacci les axes étant rectangulaires.
Lds équations de la sécante peuvent s'écrire
Si on substitue ces valeurs dans f(Xf y, z) = o, on trouve, en développant et en ordonnant par rapport à p, l'équation
/•(^, y, ^0 + p an^ + y^Fr + ^r^) + ?• (a^* + ^y + a"v«
+ 2Bp + 2B'vX + 2B"ipt) = o ;
elle détermine les valeurs de p pour les points de rencontre de la surface et de la droite. Mais, le point M (x', y\ z') appartient i la surface, et, par suitC; f{ac^f y'j z')=^o; de plus, k la limite, quand les points M et M' se confondent, la seconde valeur de p est nulle; donc, les coefficients directeurs d'une tangente à la surface vérifient la relation
Si on remplace X, |ix, v par leurs valeurs tirées des équations de la droite, il viendra, pour Téquation du lieu des tangentes en M {x'y'z') k la surface,
Comme elle est du premier degré en x, y, z, elle définit un plan qui s'appelle le plan tangent à la surface au point M.
Il est facile de vérifier, au moyen de l'équation /(x%y',z') = o, l'égalité
^n^ + y% + ^r.' = - 2(Cx' + C'y ' + C"z' + F),
de sorte que l'équation du plan tangent est de la forme
X (Ax' + B'y + BV + C) + y (B"x' + A'y' + Bz' + C) + z (BV + By ' + A"ie' + C") + Cx' + C'y' + C"x' + F = o ;
ou bien, si on ordonne les termes par rapport à x', y', z',
x' (Ax + B"y -f B'z + C) + y' (B"x + A'y + Bz + C) + ;s'(B'x4.By + A"z + C") + Cx + C'y + C"« + F = Q.
Lorsqu'on rend l'équation de la surface homogène (N* 148), les équations précédentes peuvent s'écrire
'T. + yr, + ^T. + «'/î = o.
On pa&se de celles-ci aux précédentes, en posant ( ss f' sa i.
On appelle normaU k la surface au point M, la perpendiculaire élevée en M au plan tangent en ce point. Il résulte immédiatement de cette définition, que les équations de la normale au point M (x'yV) seront
16§. Trouver la condition pour que le plan Ix + *wy -f- «z 4- P = o soil tangent d la surface f(Xy y, z, t) ^= o. Si on identifie l'équation du plan donné rendue homogène
Ix -j- my -j- HZ -f- p< = o
avec celle du plan tangent au point (x' y' z' V)
on a les relations
/I. = W, /;, = ftm, ^, = kn, ft, = kp,
k étant une constante. De plus, si on exprime que le point de contact se trouve dans le plan donné, on aura
/x' -[- wy' + W2' + pf = o.
En remplaçant les dérivées par leurs valeurs, les équations précédentes peuvent s'écrire
Ax' -f- B"t/' + B'z' + Cl' — Ik = o, B"x' + A'y' 4- Bz' 4- C't' — mJfc = o, B'x' + By' + A"z' + C"«' — nk = o, Cx' + C'y' + C"«' + Fr — pfc = o.
Il suffit d*élimioer entre ces égalités les quantités x% y\ z', 1', ft, pour arriver à la condition demandée : ce sera
169. Cône cireonseriL Étant donné un point M {x'y'z') de l'espace, proposons-nous de trouver le lieu de toutes les tangentes à la surface fi^9yf^) = o menées par ce point. Considérons une droite quelconque issue du point M, et soient x^'. y*'^ z", les coordonnées d'un second point de cette ligne : on aura pour un point quelconque de la droite,
x' + >x" t/' + ly" z* + As"
Substituons ces expressions dans l'équation de la surface; après avoir effectué les multiplications, l'équation nouvelle peut se ramener à la forme
(«) /"(^',y', z') + P"A + AY(x", y", z",) = o,
dans laquelle P" représente la valeur du premier membre de l'équation du plan tangent pour les coordonnées x'\y"yZ''j c'est-à-dire, l'expression
^"i:, + y"f'». + '^"('^ + 2(Cx' + cy + c"z' + F).
Les racines de l'équation (a) correspondent aux points de rencontre de la droite avec la surface. Lorsque les points d'intersection se rapprochent de plus en plus pour venir se confondre, à la limite, les racines étant égales, on doit avoir
Ainsi, les coordonnées d'un point {x"^y'\z'% choisi à volonté sur une tangente quelconque issue du point M, vérifient la relation précédente. 11 s*ensuit que le lieu cherché aura pour équation
w:. + y/"; + ^r.> + 2 (cx' + cy' + cx' +, f)]>
qai se déduit de la précédente en supprimant les accents aux coordonnées x'\ y"f z*\ Elle est du second degré ; elle représentera une surlace conique circonscrite à /(x, y, z) = o, et ayant pour sommet le point M (x'y'jE').
En coordonnées homogènes, Téquation précédente peut s*écrire
«. + y/*;, + <, + tfè^ - 4/ («^, y, ^» 0. A^\ yS «S 0 = o.
170. Plan polaire. Les points de la courbe de contact du cône circonscrit à la surface f{Xj y, js, <) °= o satisfont à la fois aux équations
comme la première est du premier degré en x, y, z, tous les points de contact des deux surfaces se trouvent dans un plan. Ce plan s'appelle le plan polaire du point (x', y^, z') par rapport & la surface du second ordre /(x, y, z) =1 o.
On peut aussi regarder le plan polaire d*un point M (x'y V), comme étant le lieu de son conjugué harmonique, par rapport aux points d'intersection avec la surface d'une sécante variable issue de ce point. En effet, siy dans le calcul du N® précédent, on fait coïncider le point (x"y'V) avec le conjugué harmonique du point M, l'équation en A doit donner des racines égales et de signes contrairesi ce qui exige que les coordonnées x^'f y"t z" vérifient la relation
afin que le terme du premier degré disparaisse de l'équation.
Donc, lorsque la sécaT^te tourne autour du point M^ le conjugué harmonique décrit un plan qui est le plan polaire de ce point.
171. On démontrera, comme pour la sphère (N® HB), les propriétés suivantes :
i^ Le pôle d'un plan passant par un point se trouve dans le plan polaire de ce point.
â^ Un plan passant par deux points aura son pôle situé sur Vinterseetion des plans polaires de ces points.
3° Lorsqu'un plan tourne autour d'une droite D, son pôle décrit une droite d. Les droites D eid sont telles que tout plan mené par l'une d'elles a son pôle sur l'autre : on les appelle droites conjuguées par rapport à la
surface. L'équation du plaa polaire représente le plan tangent, si le point {x'y y\ z') est sur la surface; de sorte que le plan polaire d'un point de la surface est le plan tangent en ce point. Donc, si on mène par la droite D des plans tangents à la surface, leurs points de contact appartiendront h la droite conjuguée d qui sera la corde des contacts de ces plans tangents. Ainsi, la droite d'intersection de deux plans tangents et la droite des contacts sont toujours conjuguées par rapport h la surface.
Si on mène une droite qui rencontre la surface en m et m', et les droites conjuguées en a et a', les points a, a', m, m' formeront un système harmonique; car, le plan polaire du point a passe par le point a' et ce dernier doit être le conjugué harmonique de a par rapport aux points où la droite rencontre la surface.
Enfin, nous ferons remarquer que le plan polaire du point à l'infini sur la droite
coïncide avec le plan diamétral conjugué de cette direction; car, si les coordonnées x', y', z' vérifient ces égalités, l'équation du plan polaire peut s'écrire
et, si p =3 00, elle se réduit à
qui représente le plan diamétral conjugué de la droite (X, /x, v).
17S. Points ei flans conjugués. Deux points sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre, quand le plan polaire de l'un passe par l'autre. Soient (x'y'z'('), (x"y"«"i") deux points de l'espace; leurs plans polaires sont représentés par les équations
Si on exprime que l'un de ces plans passe par le pôle de l'autre, on trouve la condition unique
qui devra être satisfaite pour que les points soient conjugués.
Deux plans sont conjugués par rapport à une surface du second ordre, lorsque le pôle de l'un se trouve dans Taulre. Soient
/x + my + «z +/)« = o, /'x -f- m'y + n'z -f- p't = o,
les équations de deux plans, el {x'y'z'f) le pôle du premier. Si on exprime que les équations
Ix + my 4- nj? -|"P* = Oi définissent un même plan, on aura les égalités
/«' /y' Im' lu
BS équations
Ax' + B"y' + Wz' -f et'
B"x' + A'y' + Bz' + ce -
— fcm = o,
B'x' + By' -f A"z' + ce
— kn = Oj
Cx' + C'y' + C'jk' -1- Fr -
~ Ape=o.
De plus, on a aussi la relation
f x' -f my -f n'z' + p'C = o
qui exprime que le pôle du premier plan se trouve dans l'autre. Par rélimination de x', y', c', t\ k^ il vient
Cette équation est symétrique et exprime que le pôle de Tun des plans se trouve dans l'autre, et, par suite, que les plans donnés sont conjugués par rapport à la surface.
